MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1pfxeqrex Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ccats1pfxeqrex 14664
Description: There exists a symbol such that its concatenation after the prefix obtained by deleting the last symbol of a nonempty word results in the word itself. (Contributed by AV, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeqrex ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠
Proof of Theorem ccats1pfxeqrex
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝑉)
2 lencl 14482 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
323ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
4 nn0p1nn 12510 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„•)
5 nngt0 12242 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„• β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
63, 4, 53syl 18 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
7 breq2 5152 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
873ad2ant3 1135 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
96, 8mpbird 256 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
10 hashgt0n0 14324 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
111, 9, 10syl2anc 584 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
12 lswcl 14517 . . 3 ((π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉)
131, 11, 12syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉)
14 ccats1pfxeq 14663 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
15 s1eq 14549 . . . 4 (𝑠 = (lastSβ€˜π‘ˆ) β†’ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ© = βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)
1615oveq2d 7424 . . 3 (𝑠 = (lastSβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©) = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
1716rspceeqv 3633 . 2 (((lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©))
1813, 14, 17syl6an 682 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β™―chash 14289  Word cword 14463  lastSclsw 14511   ++ cconcat 14519  βŸ¨β€œcs1 14544   prefix cpfx 14619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620
This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1lem  14695
  Copyright terms: Public domain W3C validator