Theorem ccats1pfxeqrex 14640

Description: There exists a symbol such that its concatenation after the prefix obtained by deleting the last symbol of a nonempty word results in the word itself. (Contributed by AV, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeqrex	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑠 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠

Proof of Theorem ccats1pfxeqrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 14459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		nn0p1nn 12442	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5		nngt0 12178	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
7		breq2 5099	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
8	7	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
9	6, 8	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
10		hashgt0n0 14291	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
11	1, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
12		lswcl 14494	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
13	1, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
14		ccats1pfxeq 14639	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
15		s1eq 14526	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (lastS‘𝑈) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
16	15	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝑠 = (lastS‘𝑈) → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
17	16	rspceeqv 3602	. 2 ⊢ (((lastS‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → ∃𝑠 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩))
18	13, 14, 17	syl6an 684	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑠 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ♯chash 14256  Word cword 14439  lastSclsw 14488   ++ cconcat 14496  ⟨“cs1 14521   prefix cpfx 14596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-hash 14257  df-word 14440  df-lsw 14489  df-concat 14497  df-s1 14522  df-substr 14567  df-pfx 14597

This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1lem  14671