Theorem ccats1pfxeqrex 14076

Description: There exists a symbol such that its concatenation after the prefix obtained by deleting the last symbol of a nonempty word results in the word itself. (Contributed by AV, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1pfxeqrex	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑠 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠

Proof of Theorem ccats1pfxeqrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 13882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	2	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		nn0p1nn 11935	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ)
5		nngt0 11667	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) + 1) ∈ ℕ → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < ((♯‘𝑊) + 1))
7		breq2 5069	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
8	7	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 0 < ((♯‘𝑊) + 1)))
9	6, 8	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 0 < (♯‘𝑈))
10		hashgt0n0 13725	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → 𝑈 ≠ ∅)
11	1, 9, 10	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ≠ ∅)
12		lswcl 13919	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
13	1, 11, 12	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (lastS‘𝑈) ∈ 𝑉)
14		ccats1pfxeq 14075	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)))
15		s1eq 13953	. . . 4 ⊢ (𝑠 = (lastS‘𝑈) → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
16	15	oveq2d 7171	. . 3 ⊢ (𝑠 = (lastS‘𝑈) → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
17	16	rspceeqv 3637	. 2 ⊢ (((lastS‘𝑈) ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)) → ∃𝑠 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩))
18	13, 14, 17	syl6an 682	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑠 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  ∅c0 4290   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   < clt 10674  ℕcn 11637  ℕ₀cn0 11896  ♯chash 13689  Word cword 13860  lastSclsw 13913   ++ cconcat 13921  ⟨“cs1 13948   prefix cpfx 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13914  df-concat 13922  df-s1 13949  df-substr 14002  df-pfx 14032

This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1lem  14107