MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1pfxeqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1pfxeqrex 14610
Description: There exists a symbol such that its concatenation after the prefix obtained by deleting the last symbol of a nonempty word results in the word itself. (Contributed by AV, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccats1pfxeqrex ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘ˆ,𝑠   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠

Proof of Theorem ccats1pfxeqrex
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ ∈ Word 𝑉)
2 lencl 14428 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
323ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
4 nn0p1nn 12459 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ ((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„•)
5 nngt0 12191 . . . . . 6 (((β™―β€˜π‘Š) + 1) ∈ β„• β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
63, 4, 53syl 18 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1))
7 breq2 5114 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
873ad2ant3 1136 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (0 < (β™―β€˜π‘ˆ) ↔ 0 < ((β™―β€˜π‘Š) + 1)))
96, 8mpbird 257 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ))
10 hashgt0n0 14272 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (β™―β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
111, 9, 10syl2anc 585 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
12 lswcl 14463 . . 3 ((π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ (lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉)
131, 11, 12syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉)
14 ccats1pfxeq 14609 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)))
15 s1eq 14495 . . . 4 (𝑠 = (lastSβ€˜π‘ˆ) β†’ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ© = βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)
1615oveq2d 7378 . . 3 (𝑠 = (lastSβ€˜π‘ˆ) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©) = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©))
1716rspceeqv 3600 . 2 (((lastSβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑉 ∧ π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(lastSβ€˜π‘ˆ)β€βŸ©)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©))
1813, 14, 17syl6an 683 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ π‘ˆ ∈ Word 𝑉 ∧ (β™―β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜π‘Š) + 1)) β†’ (π‘Š = (π‘ˆ prefix (β™―β€˜π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑉 π‘ˆ = (π‘Š ++ βŸ¨β€œπ‘ β€βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β™―chash 14237  Word cword 14409  lastSclsw 14457   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1lem  14641
  Copyright terms: Public domain W3C validator