Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatw2s1p1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatw2s1p1OLD 13985
 Description: Obsolete version of ccatw2s1p1 13984 as of 29-Jan-2024. Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ccatw2s1p1OLD (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1OLD
StepHypRef Expression
1 ccatws1cl 13959 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
21ad2ant2r 746 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3 lencl 13874 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4 fzonn0p1 13107 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
65adantr 484 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
7 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
87eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
9 ccatws1len 13963 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1110oveq2d 7154 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
126, 8, 113eltr4d 2931 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
1312adantr 484 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
14 ccats1val1 13970 . . 3 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
152, 13, 14syl2anc 587 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
16 simpll 766 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17 simprl 770 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
18 eqcom 2831 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (♯‘𝑊))
1918biimpi 219 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (♯‘𝑊))
2019ad2antlr 726 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
21 ccats1val2 13972 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2216, 17, 20, 21syl3anc 1368 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2315, 22eqtrd 2859 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  0cc0 10522  1c1 10523   + caddc 10525  ℕ0cn0 11883  ..^cfzo 13026  ♯chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13911  ⟨“cs1 13938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-hash 13685  df-word 13856  df-concat 13912  df-s1 13939 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator