Theorem ccatw2s1p1 14671

Description: Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 29-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatw2s1p1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1cl 14651	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		fzonn0p1 13778	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
8	7	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
9		ccatws1len 14655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	10	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
12	6, 8, 11	3eltr4d 2854	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
13	12	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
14		ccats1val1 14661	. . 3 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
16		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		eqcom 2742	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘𝑊))
19	18	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
21		ccats1val2 14662	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
22	16, 17, 20, 21	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
23	15, 22	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem2  30137  numclwwlk1lem2foalem  30380