MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatw2s1p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatw2s1p1 14357
Description: Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 29-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccatw2s1p1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1
StepHypRef Expression
1 ccatws1cl 14332 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
213adant2 1130 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3 lencl 14247 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4 fzonn0p1 13475 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
7 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
87eqcomd 2746 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
9 ccatws1len 14336 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1110oveq2d 7288 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
126, 8, 113eltr4d 2856 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
13123adant3 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
14 ccats1val1 14343 . . 3 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
152, 13, 14syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
16 simp1 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17 simp3 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
18 eqcom 2747 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (♯‘𝑊))
1918biimpi 215 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (♯‘𝑊))
20193ad2ant2 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
21 ccats1val2 14345 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2216, 17, 20, 21syl3anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2315, 22eqtrd 2780 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁𝑋𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6432  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885  0cn0 12244  ..^cfzo 13393  chash 14055  Word cword 14228   ++ cconcat 14284  ⟨“cs1 14311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-hash 14056  df-word 14229  df-concat 14285  df-s1 14312
This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem2  28481  numclwwlk1lem2foalem  28724
  Copyright terms: Public domain W3C validator