Theorem ccatw2s1p1 14274

Description: Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 1-May-2020.) (Revised by AV, 29-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatw2s1p1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1cl 14249	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3		lencl 14164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4		fzonn0p1 13392	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) ∈ (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
7		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
8	7	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
9		ccatws1len 14253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
11	10	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((♯‘𝑊) + 1)))
12	6, 8, 11	3eltr4d 2854	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
13	12	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
14		ccats1val1 14260	. . 3 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
15	2, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
16		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
17		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (♯‘𝑊))
19	18	biimpi 215	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑁 = (♯‘𝑊))
20	19	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑁 = (♯‘𝑊))
21		ccats1val2 14262	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
22	16, 17, 20, 21	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
23	15, 22	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201  ⟨“cs1 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2lem2  28373  numclwwlk1lem2foalem  28616