Theorem gpg5edgnedg 48750

Description: Two consecutive (according to the numbering) inside vertices of the Petersen graph G(5,2) are not connected by an edge, but are connected by an edge in a 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5edgnedg	⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∉ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)))

Proof of Theorem gpg5edgnedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11188	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2		eleq1 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (0..^5) ↔ 0 ∈ (0..^5)))
3		opeq2 4835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 0⟩)
4		oveq1 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
5	4	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 1) mod 5) = ((0 + 1) mod 5))
6	5	opeq2d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩)
7	3, 6	preq12d 4703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩})
8	7	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩}))
9		opeq2 4835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, 0⟩)
10	3, 9	preq12d 4703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
11	10	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}))
12	5	opeq2d 4841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩)
13	9, 12	preq12d 4703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩})
14	13	eqeq2d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}))
15	8, 11, 14	3orbi123d 1459	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}) ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩})))
16	2, 15	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})) ↔ (0 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}))))
17		5nn 12318	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
18		lbfzo0 13719	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^5) ↔ 5 ∈ ℕ)
19	17, 18	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^5)
20		0p1e1 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
21	20	oveq1i 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) mod 5) = (1 mod 5)
22		5re 12319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
23		1lt5 12414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 5
24		1mod 13927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 1 < 5) → (1 mod 5) = 1)
25	22, 23, 24	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 mod 5) = 1
26	21, 25	eqtr2i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = ((0 + 1) mod 5)
27	26	opeq2i 4838	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ = ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩
28	27	preq2i 4699	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}
29	28	3mix3i 1352	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩})
30	19, 29	pm3.2i 475	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}))
31	1, 16, 30	ceqsexv2d 3506	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}))
32		df-rex 3090	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})))
33	31, 32	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})
34		5eluz3 12898	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
35		2z 12617	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
36	22	rehalfcli 12484	. . . . . . 7 ⊢ (5 / 2) ∈ ℝ
37		ceilcl 13866	. . . . . . 7 ⊢ ((5 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(5 / 2)) ∈ ℤ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) ∈ ℤ
39		2ltceilhalf 47924	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(5 / 2)))
40	34, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(5 / 2))
41		eluz2 12859	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(5 / 2)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(5 / 2)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌈‘(5 / 2))))
42	35, 38, 40, 41	mpbir3an 1358	. . . . 5 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) ∈ (ℤ≥‘2)
43		fzo1lb 13733	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ↔ (⌈‘(5 / 2)) ∈ (ℤ≥‘2))
44	42, 43	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
45		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
46		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
47		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
48		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) = (Edg‘(5 gPetersenGr 1))
49	45, 46, 47, 48	gpgedgel 48670	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})))
50	34, 44, 49	mp2an 704	. . 3 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}))
51	33, 50	mpbir 234	. 2 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1))
52		pglem 48711	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
53		opex 5436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ V
54		opex 5436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
55	53, 54	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)
56		opex 5436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
57		opex 5436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V
58	56, 57	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V)
59	55, 58	pm3.2i 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V))
60		ax-1ne0 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
61	60	orci 878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 𝑥)
62		1ex 11191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
63	62, 1	opthne 5455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 𝑥))
64	61, 63	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
65	60	orci 878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 1) mod 5))
66	62, 1	opthne 5455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 1) mod 5)))
67	65, 66	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩
68	64, 67	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩))
70	69	orcd 886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩)))
71		prneimg 4815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}))
72	59, 70, 71	mpsyl 69	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})
73	64	orci 878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
75	60	orci 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 𝑥)
76	62, 62	opthne 5455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 𝑥))
77	75, 76	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
78	77	olci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
79	78	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
80		opex 5436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
81	56, 80	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
82	55, 81	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
83		prneimg2 4816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
84	82, 83	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
85	74, 79, 84	mpbir2and 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
86		1ne2 12442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 1 ≠ 2)
88		2cn 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
89	88	addlidi 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 2) = 2
90	89	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 + 2) mod 5) = (2 mod 5)
91		2nn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92		2lt5 12413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 5
93		elfzo0 13720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ (0..^5) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 2 < 5))
94	91, 17, 92, 93	mpbir3an 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ (0..^5)
95		zmodidfzoimp 13925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ (0..^5) → (2 mod 5) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 mod 5) = 2
97	90, 96	eqtr2i 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = ((0 + 2) mod 5)
98		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 𝑥 → (0 + 2) = (𝑥 + 2))
99	98	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = 𝑥 → ((0 + 2) mod 5) = ((𝑥 + 2) mod 5))
100	97, 99	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 = 𝑥 → 2 = ((𝑥 + 2) mod 5))
101	100	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 2 = ((𝑥 + 2) mod 5))
102	87, 101	neeqtrd 3029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
103	102	olcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
104	103	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))))
105		orc 880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 𝑥 → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
106	105	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))))
107	104, 106	pm2.61ine 3043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
108	62, 1	opthne 5455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 𝑥))
109		neirr 2969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
110	109	biorfi 951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 𝑥))
111	108, 110	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 0 ≠ 𝑥)
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 0 ≠ 𝑥))
113	62, 62	opthne 5455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
114	109	biorfi 951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
115	113, 114	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
117	112, 116	orbi12d 931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩) ↔ (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))))
118	107, 117	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩))
119		0re 11198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
120		3pos 12340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
121	119, 120	ltneii 11311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≠ 3
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 0 ≠ 3)
123		1p2e3 12374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
124	123	oveq1i 7410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 + 2) mod 5) = (3 mod 5)
125		3nn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℕ0
126		3lt5 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 < 5
127		elfzo0 13720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 ∈ (0..^5) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 3 < 5))
128	125, 17, 126, 127	mpbir3an 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ (0..^5)
129		zmodidfzoimp 13925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ (0..^5) → (3 mod 5) = 3)
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 mod 5) = 3
131	124, 130	eqtr2i 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = ((1 + 2) mod 5)
132		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 𝑥 → (1 + 2) = (𝑥 + 2))
133	132	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 = 𝑥 → ((1 + 2) mod 5) = ((𝑥 + 2) mod 5))
134	131, 133	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 𝑥 → 3 = ((𝑥 + 2) mod 5))
135	134	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 3 = ((𝑥 + 2) mod 5))
136	122, 135	neeqtrd 3029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
137	136	orcd 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥))
138	137	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥)))
139		olc 881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 𝑥 → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥))
140	139	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥)))
141	138, 140	pm2.61ine 3043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥))
142	62, 1	opthne 5455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
143	109	biorfi 951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
144	142, 143	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
146	62, 62	opthne 5455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 𝑥))
147	109	biorfi 951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 𝑥))
148	146, 147	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 1 ≠ 𝑥)
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 1 ≠ 𝑥))
150	145, 149	orbi12d 931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ↔ (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥)))
151	141, 150	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
152		opex 5436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V
153	80, 152	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V)
154	55, 153	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V))
155		prneimg2 4816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
156	154, 155	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
157	118, 151, 156	mpbir2and 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩})
158	72, 85, 157	3jca 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
159	158	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
160		ralnex 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^5) ¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
161		3ioran 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
162		df-ne 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})
163		df-ne 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
164		df-ne 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩})
165	162, 163, 164	3anbi123i 1171	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
166	161, 165	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
167	166	ralbii 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^5) ¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
168	160, 167	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
169	159, 168	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
170		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
171		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)) = (Edg‘(5 gPetersenGr 2))
172	45, 46, 170, 171	gpgedgel 48670	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩})))
173	169, 172	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)))
174	34, 52, 173	mp2an 704	. . 3 ⊢ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 2))
175	174	nelir 3067	. 2 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∉ (Edg‘(5 gPetersenGr 2))
176	51, 175	pm3.2i 475	1 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∉ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   ∧ w3a 1101   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3064  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  5c5 12289  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ..^cfzo 13673  ⌈cceil 13815   mod cmo 13893  Edgcedg 29306   gPetersenGr cgpg 48660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-ceil 13817  df-mod 13894  df-hash 14358  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-edgf 29248  df-iedg 29258  df-edg 29307  df-gpg 48661

This theorem is referenced by:  grlimedgnedg  48751