Theorem gpg5edgnedg 48936

Description: Two consecutive (according to the numbering) inside vertices of the Petersen graph G(5,2) are not connected by an edge, but are connected by an edge in a 5-prism G(5,1). (Contributed by AV, 29-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg5edgnedg	⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∉ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)))

Proof of Theorem gpg5edgnedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11218	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
2		eleq1 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (0..^5) ↔ 0 ∈ (0..^5)))
3		opeq2 4844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, 0⟩)
4		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 + 1) = (0 + 1))
5	4	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 1) mod 5) = ((0 + 1) mod 5))
6	5	opeq2d 4850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ = ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩)
7	3, 6	preq12d 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩})
8	7	eqeq2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩}))
9		opeq2 4844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, 0⟩)
10	3, 9	preq12d 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
11	10	eqeq2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}))
12	5	opeq2d 4850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ = ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩)
13	9, 12	preq12d 4712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩})
14	13	eqeq2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}))
15	8, 11, 14	3orbi123d 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}) ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩})))
16	2, 15	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})) ↔ (0 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}))))
17		5nn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ
18		lbfzo0 13747	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^5) ↔ 5 ∈ ℕ)
19	17, 18	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^5)
20		0p1e1 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
21	20	oveq1i 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) mod 5) = (1 mod 5)
22		5re 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℝ
23		1lt5 12441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 5
24		1mod 13956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 1 < 5) → (1 mod 5) = 1)
25	22, 23, 24	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 mod 5) = 1
26	21, 25	eqtr2i 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = ((0 + 1) mod 5)
27	26	opeq2i 4847	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, 1⟩ = ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩
28	27	preq2i 4708	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}
29	28	3mix3i 1354	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩})
30	19, 29	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 0⟩, ⟨1, ((0 + 1) mod 5)⟩}))
31	1, 16, 30	ceqsexv2d 3507	. . . 4 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}))
32		df-rex 3093	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (0..^5) ∧ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})))
33	31, 32	mpbir 234	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})
34		5eluz3 12925	. . . 4 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
35		2z 12644	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
36	22	rehalfcli 12511	. . . . . . 7 ⊢ (5 / 2) ∈ ℝ
37		ceilcl 13895	. . . . . . 7 ⊢ ((5 / 2) ∈ ℝ → (⌈‘(5 / 2)) ∈ ℤ)
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) ∈ ℤ
39		2ltceilhalf 48110	. . . . . . 7 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ≤ (⌈‘(5 / 2)))
40	34, 39	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ≤ (⌈‘(5 / 2))
41		eluz2 12886	. . . . . 6 ⊢ ((⌈‘(5 / 2)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (⌈‘(5 / 2)) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ (⌈‘(5 / 2))))
42	35, 38, 40, 41	mpbir3an 1360	. . . . 5 ⊢ (⌈‘(5 / 2)) ∈ (ℤ≥‘2)
43		fzo1lb 13761	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2))) ↔ (⌈‘(5 / 2)) ∈ (ℤ≥‘2))
44	42, 43	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
45		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (0..^5) = (0..^5)
46		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1..^(⌈‘(5 / 2))) = (1..^(⌈‘(5 / 2)))
47		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (5 gPetersenGr 1) = (5 gPetersenGr 1)
48		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) = (Edg‘(5 gPetersenGr 1))
49	45, 46, 47, 48	gpgedgel 48856	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})))
50	34, 44, 49	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}))
51	33, 50	mpbir 234	. 2 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1))
52		pglem 48897	. . . 4 ⊢ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))
53		opex 5450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ V
54		opex 5450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
55	53, 54	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V)
56		opex 5450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
57		opex 5450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V
58	56, 57	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V)
59	55, 58	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V))
60		ax-1ne0 11187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
61	60	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 𝑥)
62		1ex 11221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
63	62, 1	opthne 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ 𝑥))
64	61, 63	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
65	60	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 1) mod 5))
66	62, 1	opthne 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 1) mod 5)))
67	65, 66	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩
68	64, 67	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩)
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩))
70	69	orcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩)))
71		prneimg 4824	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩) ∨ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∧ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩}))
72	59, 70, 71	mpsyl 69	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})
73	64	orci 879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
74	73	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
75	60	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 𝑥)
76	62, 62	opthne 5469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ 1 ≠ 𝑥))
77	75, 76	mpbir 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩
78	77	olci 880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩)
79	78	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))
80		opex 5450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
81	56, 80	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)
82	55, 81	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V))
83		prneimg2 4825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
84	82, 83	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨0, 𝑥⟩))))
85	74, 79, 84	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
86		1ne2 12469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 1 ≠ 2)
88		2cn 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℂ
89	88	addlidi 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 2) = 2
90	89	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 + 2) mod 5) = (2 mod 5)
91		2nn0 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ0
92		2lt5 12440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 5
93		elfzo0 13748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ (0..^5) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 2 < 5))
94	91, 17, 92, 93	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ (0..^5)
95		zmodidfzoimp 13954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ (0..^5) → (2 mod 5) = 2)
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 mod 5) = 2
97	90, 96	eqtr2i 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = ((0 + 2) mod 5)
98		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = 𝑥 → (0 + 2) = (𝑥 + 2))
99	98	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 = 𝑥 → ((0 + 2) mod 5) = ((𝑥 + 2) mod 5))
100	97, 99	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 = 𝑥 → 2 = ((𝑥 + 2) mod 5))
101	100	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 2 = ((𝑥 + 2) mod 5))
102	87, 101	neeqtrd 3030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
103	102	olcd 888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
104	103	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))))
105		orc 881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≠ 𝑥 → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
106	105	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ≠ 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))))
107	104, 106	pm2.61ine 3044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
108	62, 1	opthne 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 𝑥))
109		neirr 2970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1 ≠ 1
110	109	biorfi 952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 𝑥))
111	108, 110	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 0 ≠ 𝑥)
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 0 ≠ 𝑥))
113	62, 62	opthne 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
114	109	biorfi 952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
115	113, 114	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
117	112, 116	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩) ↔ (0 ≠ 𝑥 ∨ 1 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))))
118	107, 117	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩))
119		0re 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
120		3pos 12367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
121	119, 120	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≠ 3
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 0 ≠ 3)
123		1p2e3 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
124	123	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 + 2) mod 5) = (3 mod 5)
125		3nn0 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℕ0
126		3lt5 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 < 5
127		elfzo0 13748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 ∈ (0..^5) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ ∧ 3 < 5))
128	125, 17, 126, 127	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ (0..^5)
129		zmodidfzoimp 13954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 ∈ (0..^5) → (3 mod 5) = 3)
130	128, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 mod 5) = 3
131	124, 130	eqtr2i 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = ((1 + 2) mod 5)
132		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 = 𝑥 → (1 + 2) = (𝑥 + 2))
133	132	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 = 𝑥 → ((1 + 2) mod 5) = ((𝑥 + 2) mod 5))
134	131, 133	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 = 𝑥 → 3 = ((𝑥 + 2) mod 5))
135	134	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 3 = ((𝑥 + 2) mod 5))
136	122, 135	neeqtrd 3030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
137	136	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 = 𝑥 ∧ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5))) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥))
138	137	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 = 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥)))
139		olc 882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 𝑥 → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥))
140	139	a1d 26	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 𝑥 → (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥)))
141	138, 140	pm2.61ine 3044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥))
142	62, 1	opthne 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
143	109	biorfi 952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
144	142, 143	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5))
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ↔ 0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5)))
146	62, 62	opthne 5469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 𝑥))
147	109	biorfi 952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 𝑥 ↔ (1 ≠ 1 ∨ 1 ≠ 𝑥))
148	146, 147	bitr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 1 ≠ 𝑥)
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ 1 ≠ 𝑥))
150	145, 149	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩) ↔ (0 ≠ ((𝑥 + 2) mod 5) ∨ 1 ≠ 𝑥)))
151	141, 150	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))
152		opex 5450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V
153	80, 152	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V)
154	55, 153	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V))
155		prneimg2 4825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 1⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∈ V)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
156	154, 155	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩} ↔ ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩) ∧ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩ ∨ ⟨1, 1⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩))))
157	118, 151, 156	mpbir2and 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩})
158	72, 85, 157	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^5)) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
159	158	ralrimiva 3160	. . . . . 6 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
160		ralnex 3094	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^5) ¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
161		3ioran 1123	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
162		df-ne 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩})
163		df-ne 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩})
164		df-ne 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩} ↔ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩})
165	162, 163, 164	3anbi123i 1173	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ (¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
166	161, 165	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
167	166	ralbii 3114	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^5) ¬ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
168	160, 167	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ≠ {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
169	159, 168	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ¬ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩}))
170		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (5 gPetersenGr 2) = (5 gPetersenGr 2)
171		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)) = (Edg‘(5 gPetersenGr 2))
172	45, 46, 170, 171	gpgedgel 48856	. . . . 5 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^5)({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 5)⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 2) mod 5)⟩})))
173	169, 172	mtbird 328	. . . 4 ⊢ ((5 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 2 ∈ (1..^(⌈‘(5 / 2)))) → ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)))
174	34, 52, 173	mp2an 705	. . 3 ⊢ ¬ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 2))
175	174	nelir 3070	. 2 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∉ (Edg‘(5 gPetersenGr 2))
176	51, 175	pm3.2i 476	1 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∈ (Edg‘(5 gPetersenGr 1)) ∧ {⟨1, 0⟩, ⟨1, 1⟩} ∉ (Edg‘(5 gPetersenGr 2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∉ wnel 3067  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  Vcvv 3458  {cpr 4596  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   < clt 11261   ≤ cle 11262   / cdiv 11889  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  5c5 12316  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ..^cfzo 13701  ⌈cceil 13844   mod cmo 13922  Edgcedg 29434   gPetersenGr cgpg 48846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-ceil 13846  df-mod 13923  df-hash 14387  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-edgf 29376  df-iedg 29386  df-edg 29435  df-gpg 48847

This theorem is used by:  grlimedgnedg  48937