Theorem aks4d1p3 42079

Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p3.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p3.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p3	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p3

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4	1, 2, 3	aks4d1p1 42077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 < (2↑𝐵))
6		2re 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
9		2pos 12369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
11		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
15		3re 12346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
17		3pos 12371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
19		eluzle 12891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
21	14, 16, 13, 18, 20	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
22		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23		1lt2 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	22, 24	ltned 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
26	25	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
27	7, 10, 13, 21, 26	relogbcld 41974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28		5nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
30	27, 29	reexpcld 14203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31		ceilcl 13882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
33	8, 32	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
34	32	zred 12722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
35	8, 34	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		7re 12359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
38		7pos 12377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 7
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
40	13, 20	3lexlogpow5ineq3 42058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41	14, 37, 30, 39, 40	lttrd 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42		ceilge 13885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	14, 30, 34, 41, 43	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
45	44, 8	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
46	14, 35, 45	ltled 11409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
47	33, 46	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
48		elnn0z 12626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	47, 48	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
50	7, 49	reexpcld 14203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
52		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℤ)
55	54	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℤ))
56	55	ssrdv 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
57		fzfid 14014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
58		lcmfcl 16665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
59	56, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
60	59	nn0red 12588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
62	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
63		elnnz 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
64	12, 21, 63	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
65	7, 10, 35, 45, 26	relogbcld 41974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
66	65	flcld 13838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
67	7, 10, 7, 10, 26	relogbcld 41974	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
68		0le1 11786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
70	7	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71	14, 10	gtned 11396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
72		logbid1 26811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
73	70, 71, 26, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
74	73	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
75	69, 74	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 2))
76		2z 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
78	7	leidd 11829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79		2lt7 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 7
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 7)
81	7, 37, 80	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
82	37, 30, 34, 40, 43	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
83	82, 8	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
84	37, 35, 83	ltled 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
85	7, 37, 35, 81, 84	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
86	77, 78, 7, 10, 35, 45, 85	logblebd 41977	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
87	14, 67, 65, 75, 86	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
88		0zd 12625	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
89		flge 13845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90	65, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
92	66, 91	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
93		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
94	92, 93	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
95	64, 94	nnexpcld 14284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
96		fzfid 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
97	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101		zexpcl 14117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102	97, 100, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
103		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
104	102, 103	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℂ)
106	105	addridd 11461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) = 1)
107	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
108		1nn0 12542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
110	13, 109	reexpcld 14203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112	102	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
113		1lt3 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 3
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
115	22, 16, 13, 114, 20	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
116	13	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
117	116	exp1d 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) = 𝑁)
118	117	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁↑1))
119	115, 118	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁↑1))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑1))
121	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
122	64	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
124		elfzuz 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
126	121, 123, 125	leexp2ad 14293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ≤ (𝑁↑𝑘))
127	107, 111, 112, 120, 126	ltletrd 11421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑𝑘))
128	106, 127	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) < (𝑁↑𝑘))
129	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
130	107, 129, 112	ltaddsub2d 11864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((1 + 0) < (𝑁↑𝑘) ↔ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
131	128, 130	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1))
132	104, 131	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
133		elnnz 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
134	132, 133	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
135	96, 134	fprodnncl 15991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
136	95, 135	nnmulcld 12319	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
137	62, 136	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
138	137	nnred 12281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
140	1, 2, 3	aks4d1p2 42078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
141	140	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
142	137	nnzd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
144	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
145		fzfid 14014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ∈ Fin)
146		lcmfdvdsb 16680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
147	143, 144, 145, 146	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
148	147	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
149	148	syldbl2 842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴)
150	59	nn0zd 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
151	150	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
152	137	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
153		dvdsle 16347	. . . . . . . 8 ⊢ (((lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
154	151, 152, 153	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
155	149, 154	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴)
156	51, 61, 139, 141, 155	letrd 11418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ 𝐴)
157	51, 139	lenltd 11407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((2↑𝐵) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (2↑𝐵)))
158	156, 157	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (2↑𝐵))
159	5, 158	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
160		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
161	159, 160	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
162		rexnal 3100	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
163	161, 162	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  7c7 12326  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ⌊cfl 13830  ⌈cceil 13831  ↑cexp 14102  ∏cprod 15939   ∥ cdvds 16290  lcmclcmf 16626   log_b clogb 26807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627  df-lcmf 16628  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808

This theorem is referenced by:  aks4d1p4  42080  aks4d1p5  42081  aks4d1p7  42084  aks4d1p8  42088