Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p3 41459
Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p3.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
aks4d1p3.2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
aks4d1p3.3 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1p3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡) Β¬ π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝑁(π‘Ÿ)

Proof of Theorem aks4d1p3
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p3.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
2 aks4d1p3.2 . . . . . 6 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
3 aks4d1p3.3 . . . . . 6 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
41, 2, 3aks4d1p1 41457 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
54adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
6 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
83a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
9 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
11 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1312zred 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
15 3re 12296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
17 3pos 12321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
19 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 3 ≀ 𝑁)
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
2114, 16, 13, 18, 20ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
22 1red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
23 1lt2 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
2522, 24ltned 11354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
2625necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 β‰  1)
277, 10, 13, 21, 26relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28 5nn0 12496 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ β„•0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„•0)
3027, 29reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31 ceilcl 13813 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ β†’ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ β„€)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ β„€)
338, 32eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3432zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
358, 34eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
36 7re 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 7 ∈ ℝ)
38 7pos 12327 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 7
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 7)
4013, 203lexlogpow5ineq3 41438 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4114, 37, 30, 39, 40lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42 ceilge 13816 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ β†’ ((2 logb 𝑁)↑5) ≀ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2 logb 𝑁)↑5) ≀ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
4414, 30, 34, 41, 43ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
4544, 8breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
4614, 35, 45ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
4733, 46jca 511 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐡))
48 elnn0z 12575 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„•0 ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐡))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
507, 49reexpcld 14133 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝐡) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝐡) ∈ ℝ)
52 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (1...𝐡) β†’ π‘ž ∈ β„•)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ (1...𝐡)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
5453nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ (1...𝐡)) β†’ π‘ž ∈ β„€)
5554ex 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ (1...𝐡) β†’ π‘ž ∈ β„€))
5655ssrdv 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝐡) βŠ† β„€)
57 fzfid 13944 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝐡) ∈ Fin)
58 lcmfcl 16572 . . . . . . . . 9 (((1...𝐡) βŠ† β„€ ∧ (1...𝐡) ∈ Fin) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„•0)
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„•0)
6059nn0red 12537 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ ℝ)
622a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
63 elnnz 12572 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑁))
6412, 21, 63sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
657, 10, 35, 45, 26relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb 𝐡) ∈ ℝ)
6665flcld 13769 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„€)
677, 10, 7, 10, 26relogbcld 41354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2 logb 2) ∈ ℝ)
68 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≀ 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
707recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
7114, 10gtned 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
72 logbid1 26655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 2 β‰  1) β†’ (2 logb 2) = 1)
7370, 71, 26, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 logb 2) = 1)
7473eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 = (2 logb 2))
7569, 74breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 logb 2))
76 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
787leidd 11784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 2)
79 2lt7 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 < 7
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 < 7)
817, 37, 80ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 7)
8237, 30, 34, 40, 43ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 7 < (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
8382, 8breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 7 < 𝐡)
8437, 35, 83ltled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 7 ≀ 𝐡)
857, 37, 35, 81, 84letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝐡)
8677, 78, 7, 10, 35, 45, 85logblebd 41357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2 logb 2) ≀ (2 logb 𝐡))
8714, 67, 65, 75, 86letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 logb 𝐡))
88 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
89 flge 13776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 logb 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ (2 logb 𝐡) ↔ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
9065, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (2 logb 𝐡) ↔ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
9187, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)))
9266, 91jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
93 elnn0z 12575 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„•0 ↔ ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„•0)
9564, 94nnexpcld 14213 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) ∈ β„•)
96 fzfid 13944 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
9712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
98 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10099nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
101 zexpcl 14047 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„€)
10297, 100, 101syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„€)
103 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ∈ β„€)
104102, 103zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€)
105 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ∈ β„‚)
106105addridd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (1 + 0) = 1)
10722adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
108 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„•0
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
11013, 109reexpcld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112102zred 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
113 1lt3 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 1 < 3)
11522, 16, 13, 114, 20ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
11613recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
117116exp1d 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑁↑1) = 𝑁)
118117eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑁↑1))
119115, 118breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 < (𝑁↑1))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 < (𝑁↑1))
12113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
12264nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ≀ 𝑁)
124 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
126121, 123, 125leexp2ad 14222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (𝑁↑1) ≀ (π‘β†‘π‘˜))
127107, 111, 112, 120, 126ltletrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 < (π‘β†‘π‘˜))
128106, 127eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (1 + 0) < (π‘β†‘π‘˜))
12914adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
130107, 129, 112ltaddsub2d 11819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ ((1 + 0) < (π‘β†‘π‘˜) ↔ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
132104, 131jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
133 elnnz 12572 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
134132, 133sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•)
13596, 134fprodnncl 15905 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•)
13695, 135nnmulcld 12269 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
13762, 136eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
138137nnred 12231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
139138adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1401, 2, 3aks4d1p2 41458 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝐡) ≀ (lcmβ€˜(1...𝐡)))
141140adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝐡) ≀ (lcmβ€˜(1...𝐡)))
142137nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
143142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
14456adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (1...𝐡) βŠ† β„€)
145 fzfid 13944 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (1...𝐡) ∈ Fin)
146 lcmfdvdsb 16587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (1...𝐡) βŠ† β„€ ∧ (1...𝐡) ∈ Fin) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 ↔ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴))
147143, 144, 145, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 ↔ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴))
148147biimpd 228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴))
149148syldbl2 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴)
15059nn0zd 12588 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„€)
151150adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„€)
152137adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
153 dvdsle 16260 . . . . . . . 8 (((lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴 β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ≀ 𝐴))
154151, 152, 153syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ ((lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴 β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ≀ 𝐴))
155149, 154mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ≀ 𝐴)
15651, 61, 139, 141, 155letrd 11375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝐡) ≀ 𝐴)
15751, 139lenltd 11364 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ ((2↑𝐡) ≀ 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 < (2↑𝐡)))
158156, 157mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 < (2↑𝐡))
1595, 158pm2.21dd 194 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
160 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
161159, 160pm2.61dan 810 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
162 rexnal 3094 . 2 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡) Β¬ π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
163161, 162sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡) Β¬ π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  5c5 12274  7c7 12276  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  βŒŠcfl 13761  βŒˆcceil 13762  β†‘cexp 14032  βˆcprod 15855   βˆ₯ cdvds 16204  lcmclcmf 16533   logb clogb 26651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-ceil 13764  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-lcm 16534  df-lcmf 16535  df-prm 16616  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446  df-logb 26652
This theorem is referenced by:  aks4d1p4  41460  aks4d1p5  41461  aks4d1p7  41464  aks4d1p8  41468
  Copyright terms: Public domain W3C validator