Theorem aks4d1p3 42059

Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p3.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p3.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p3	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p3

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4	1, 2, 3	aks4d1p1 42057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 < (2↑𝐵))
6		2re 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
9		2pos 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
11		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
15		3re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
17		3pos 12267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
19		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
21	14, 16, 13, 18, 20	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
22		1red 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23		1lt2 12328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	22, 24	ltned 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
26	25	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
27	7, 10, 13, 21, 26	relogbcld 41954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28		5nn0 12438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
30	27, 29	reexpcld 14104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31		ceilcl 13780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
33	8, 32	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
34	32	zred 12614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
35	8, 34	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		7re 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
38		7pos 12273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 7
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
40	13, 20	3lexlogpow5ineq3 42038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41	14, 37, 30, 39, 40	lttrd 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42		ceilge 13783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	14, 30, 34, 41, 43	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
45	44, 8	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
46	14, 35, 45	ltled 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
47	33, 46	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
48		elnn0z 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	47, 48	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
50	7, 49	reexpcld 14104	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
52		elfznn 13490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℤ)
55	54	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℤ))
56	55	ssrdv 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
57		fzfid 13914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
58		lcmfcl 16574	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
59	56, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
60	59	nn0red 12480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
62	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
63		elnnz 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
64	12, 21, 63	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
65	7, 10, 35, 45, 26	relogbcld 41954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
66	65	flcld 13736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
67	7, 10, 7, 10, 26	relogbcld 41954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
68		0le1 11677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
70	7	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71	14, 10	gtned 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
72		logbid1 26711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
73	70, 71, 26, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
74	73	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
75	69, 74	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 2))
76		2z 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
78	7	leidd 11720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79		2lt7 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 7
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 7)
81	7, 37, 80	ltled 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
82	37, 30, 34, 40, 43	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
83	82, 8	breqtrrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
84	37, 35, 83	ltled 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
85	7, 37, 35, 81, 84	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
86	77, 78, 7, 10, 35, 45, 85	logblebd 41957	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
87	14, 67, 65, 75, 86	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
88		0zd 12517	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
89		flge 13743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90	65, 88, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
92	66, 91	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
93		elnn0z 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
94	92, 93	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
95	64, 94	nnexpcld 14186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
96		fzfid 13914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
97	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98		elfznn 13490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101		zexpcl 14017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102	97, 100, 101	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
103		1zzd 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
104	102, 103	zsubcld 12619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		1cnd 11145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℂ)
106	105	addridd 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) = 1)
107	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
108		1nn0 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
110	13, 109	reexpcld 14104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112	102	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
113		1lt3 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 3
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
115	22, 16, 13, 114, 20	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
116	13	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
117	116	exp1d 14082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) = 𝑁)
118	117	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁↑1))
119	115, 118	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁↑1))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑1))
121	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
122	64	nnge1d 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
124		elfzuz 13457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
126	121, 123, 125	leexp2ad 14195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ≤ (𝑁↑𝑘))
127	107, 111, 112, 120, 126	ltletrd 11310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑𝑘))
128	106, 127	eqbrtrd 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) < (𝑁↑𝑘))
129	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
130	107, 129, 112	ltaddsub2d 11755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((1 + 0) < (𝑁↑𝑘) ↔ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
131	128, 130	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1))
132	104, 131	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
133		elnnz 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
134	132, 133	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
135	96, 134	fprodnncl 15897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
136	95, 135	nnmulcld 12215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
137	62, 136	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
138	137	nnred 12177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
140	1, 2, 3	aks4d1p2 42058	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
141	140	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
142	137	nnzd 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
144	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
145		fzfid 13914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ∈ Fin)
146		lcmfdvdsb 16589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
147	143, 144, 145, 146	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
148	147	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
149	148	syldbl2 841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴)
150	59	nn0zd 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
151	150	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
152	137	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
153		dvdsle 16256	. . . . . . . 8 ⊢ (((lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
154	151, 152, 153	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
155	149, 154	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴)
156	51, 61, 139, 141, 155	letrd 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ 𝐴)
157	51, 139	lenltd 11296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((2↑𝐵) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (2↑𝐵)))
158	156, 157	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (2↑𝐵))
159	5, 158	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
160		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
161	159, 160	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
162		rexnal 3082	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
163	161, 162	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  5c5 12220  7c7 12222  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ⌊cfl 13728  ⌈cceil 13729  ↑cexp 14002  ∏cprod 15845   ∥ cdvds 16198  lcmclcmf 16535   log_b clogb 26707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-symdif 4212  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-ceil 13731  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-prod 15846  df-ef 16009  df-e 16010  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-lcm 16536  df-lcmf 16537  df-prm 16618  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-mbf 25553  df-itg1 25554  df-itg2 25555  df-ibl 25556  df-itg 25557  df-0p 25604  df-limc 25800  df-dv 25801  df-log 26498  df-cxp 26499  df-logb 26708

This theorem is referenced by:  aks4d1p4  42060  aks4d1p5  42061  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068