Theorem aks4d1p3 42578

Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p3.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p3.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p3	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p3

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4	1, 2, 3	aks4d1p1 42576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))
5	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 < (2↑𝐵))
6		2re 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
9		2pos 12279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
11		eluzelz 12793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		0red 11142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
15		3re 12256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
17		3pos 12281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
19		eluzle 12796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
21	14, 16, 13, 18, 20	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
22		1red 11140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23		1lt2 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	22, 24	ltned 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
26	25	necomd 2991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
27	7, 10, 13, 21, 26	relogbcld 42474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28		5nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
30	27, 29	reexpcld 14120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31		ceilcl 13796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
33	8, 32	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
34	32	zred 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
35	8, 34	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		7re 12269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
38		7pos 12287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 7
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
40	13, 20	3lexlogpow5ineq3 42557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41	14, 37, 30, 39, 40	lttrd 11302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42		ceilge 13799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	14, 30, 34, 41, 43	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
45	44, 8	breqtrrd 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
46	14, 35, 45	ltled 11289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
47	33, 46	jca 517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
48		elnn0z 12532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	47, 48	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
50	7, 49	reexpcld 14120	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
51	50	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
52		elfznn 13502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ)
53	52	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℤ)
55	54	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℤ))
56	55	ssrdv 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
57		fzfid 13930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
58		lcmfcl 16592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
59	56, 57, 58	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
60	59	nn0red 12494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
62	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
63		elnnz 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
64	12, 21, 63	sylanbrc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
65	7, 10, 35, 45, 26	relogbcld 42474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
66	65	flcld 13752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
67	7, 10, 7, 10, 26	relogbcld 42474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
68		0le1 11668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
70	7	recnd 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71	14, 10	gtned 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
72		logbid1 26754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
73	70, 71, 26, 72	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
74	73	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
75	69, 74	breqtrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 2))
76		2z 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
78	7	leidd 11711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79		2lt7 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 7
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 7)
81	7, 37, 80	ltled 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
82	37, 30, 34, 40, 43	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
83	82, 8	breqtrrd 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
84	37, 35, 83	ltled 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
85	7, 37, 35, 81, 84	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
86	77, 78, 7, 10, 35, 45, 85	logblebd 42477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
87	14, 67, 65, 75, 86	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
88		0zd 12531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
89		flge 13759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90	65, 88, 89	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
92	66, 91	jca 517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
93		elnn0z 12532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
94	92, 93	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
95	64, 94	nnexpcld 14202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
96		fzfid 13930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
97	12	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98		elfznn 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
99	98	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101		zexpcl 14033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102	97, 100, 101	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
103		1zzd 12553	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
104	102, 103	zsubcld 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		1cnd 11134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℂ)
106	105	addridd 11341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) = 1)
107	22	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
108		1nn0 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
110	13, 109	reexpcld 14120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111	110	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112	102	zred 12628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
113		1lt3 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 3
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
115	22, 16, 13, 114, 20	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
116	13	recnd 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
117	116	exp1d 14098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) = 𝑁)
118	117	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁↑1))
119	115, 118	breqtrd 5101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁↑1))
120	119	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑1))
121	13	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
122	64	nnge1d 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
123	122	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
124		elfzuz 13469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
125	124	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
126	121, 123, 125	leexp2ad 14211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ≤ (𝑁↑𝑘))
127	107, 111, 112, 120, 126	ltletrd 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑𝑘))
128	106, 127	eqbrtrd 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) < (𝑁↑𝑘))
129	14	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
130	107, 129, 112	ltaddsub2d 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((1 + 0) < (𝑁↑𝑘) ↔ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
131	128, 130	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1))
132	104, 131	jca 517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
133		elnnz 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
134	132, 133	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
135	96, 134	fprodnncl 15915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
136	95, 135	nnmulcld 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
137	62, 136	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
138	137	nnred 12184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
139	138	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
140	1, 2, 3	aks4d1p2 42577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
141	140	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
142	137	nnzd 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
143	142	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
144	56	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
145		fzfid 13930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ∈ Fin)
146		lcmfdvdsb 16607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
147	143, 144, 145, 146	syl3anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
148	147	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
149	148	syldbl2 848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴)
150	59	nn0zd 12544	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
151	150	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
152	137	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
153		dvdsle 16274	. . . . . . . 8 ⊢ (((lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
154	151, 152, 153	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
155	149, 154	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴)
156	51, 61, 139, 141, 155	letrd 11298	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ 𝐴)
157	51, 139	lenltd 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((2↑𝐵) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (2↑𝐵)))
158	156, 157	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (2↑𝐵))
159	5, 158	pm2.21dd 197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
160		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
161	159, 160	pm2.61dan 819	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
162		rexnal 3093	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
163	161, 162	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  5c5 12234  7c7 12236  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ⌊cfl 13744  ⌈cceil 13745  ↑cexp 14018  ∏cprod 15863   ∥ cdvds 16216  lcmclcmf 16553   log_b clogb 26750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-symdif 4184  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-prod 15864  df-ef 16027  df-e 16028  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-lcm 16554  df-lcmf 16555  df-prm 16636  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-cmp 23374  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cncf 24867  df-ovol 25453  df-vol 25454  df-mbf 25608  df-itg1 25609  df-itg2 25610  df-ibl 25611  df-itg 25612  df-0p 25659  df-limc 25855  df-dv 25856  df-log 26542  df-cxp 26543  df-logb 26751

This theorem is referenced by:  aks4d1p4  42579  aks4d1p5  42580  aks4d1p7  42583  aks4d1p8  42587