Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p3 42079
Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p3.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p3.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p3.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1p3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p3
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p3.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 aks4d1p3.2 . . . . . 6 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
3 aks4d1p3.3 . . . . . 6 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
41, 2, 3aks4d1p1 42077 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 < (2↑𝐵))
6 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
83a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
9 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
11 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
14 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
15 3re 12346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
17 3pos 12371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
19 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
2114, 16, 13, 18, 20ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
22 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 2)
2522, 24ltned 11397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2625necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
277, 10, 13, 21, 26relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28 5nn0 12546 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
3027, 29reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31 ceilcl 13882 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
338, 32eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3432zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
358, 34eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
36 7re 12359 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
38 7pos 12377 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 7
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 7)
4013, 203lexlogpow5ineq3 42058 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4114, 37, 30, 39, 40lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42 ceilge 13885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4414, 30, 34, 41, 43ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4544, 8breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐵)
4614, 35, 45ltled 11409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
4733, 46jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
48 elnn0z 12626 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
4947, 48sylibr 234 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
507, 49reexpcld 14203 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
52 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℕ)
5453nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5554ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℤ))
5655ssrdv 3989 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
57 fzfid 14014 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
58 lcmfcl 16665 . . . . . . . . 9 (((1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
5956, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
6059nn0red 12588 . . . . . . 7 (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
622a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
63 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
6412, 21, 63sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
657, 10, 35, 45, 26relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
6665flcld 13838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
677, 10, 7, 10, 26relogbcld 41974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
68 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 1)
707recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7114, 10gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≠ 0)
72 logbid1 26811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
7370, 71, 26, 72syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
7473eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
7569, 74breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 2))
76 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
787leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ 2)
79 2lt7 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 < 7
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 < 7)
817, 37, 80ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≤ 7)
8237, 30, 34, 40, 43ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
8382, 8breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 7 < 𝐵)
8437, 35, 83ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
857, 37, 35, 81, 84letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
8677, 78, 7, 10, 35, 45, 85logblebd 41977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
8714, 67, 65, 75, 86letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
88 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
89 flge 13845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
9065, 88, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
9187, 90mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
9266, 91jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
93 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
9492, 93sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
9564, 94nnexpcld 14284 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
96 fzfid 14014 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
9712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
10297, 100, 101syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
103 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
104102, 103zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℂ)
106105addridd 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) = 1)
10722adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
108 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
11013, 109reexpcld 14203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112102zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
113 1lt3 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 < 3)
11522, 16, 13, 114, 20ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 𝑁)
11613recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
117116exp1d 14181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁↑1) = 𝑁)
118117eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 = (𝑁↑1))
119115, 118breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 < (𝑁↑1))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑1))
12113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
12264nnge1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
124 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
126121, 123, 125leexp2ad 14293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ≤ (𝑁𝑘))
127107, 111, 112, 120, 126ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁𝑘))
128106, 127eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) < (𝑁𝑘))
12914adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
130107, 129, 112ltaddsub2d 11864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((1 + 0) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < ((𝑁𝑘) − 1)))
131128, 130mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 < ((𝑁𝑘) − 1))
132104, 131jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁𝑘) − 1)))
133 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁𝑘) − 1)))
134132, 133sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ)
13596, 134fprodnncl 15991 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ)
13695, 135nnmulcld 12319 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
13762, 136eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
138137nnred 12281 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
139138adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
1401, 2, 3aks4d1p2 42078 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
141140adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
142137nnzd 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
143142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
14456adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
145 fzfid 14014 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (1...𝐵) ∈ Fin)
146 lcmfdvdsb 16680 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
147143, 144, 145, 146syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
148147biimpd 229 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
149148syldbl2 842 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴)
15059nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
151150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
152137adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
153 dvdsle 16347 . . . . . . . 8 (((lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
154151, 152, 153syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
155149, 154mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴)
15651, 61, 139, 141, 155letrd 11418 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (2↑𝐵) ≤ 𝐴)
15751, 139lenltd 11407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ((2↑𝐵) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (2↑𝐵)))
158156, 157mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ¬ 𝐴 < (2↑𝐵))
1595, 158pm2.21dd 195 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
160 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
161159, 160pm2.61dan 813 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
162 rexnal 3100 . 2 (∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
163161, 162sylibr 234 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  5c5 12324  7c7 12326  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cfl 13830  cceil 13831  cexp 14102  cprod 15939  cdvds 16290  lcmclcmf 16626   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627  df-lcmf 16628  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p4  42080  aks4d1p5  42081  aks4d1p7  42084  aks4d1p8  42088
  Copyright terms: Public domain W3C validator