Theorem aks4d1p3 42477

Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p3.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p3.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p3	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p3

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2		aks4d1p3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
3		aks4d1p3.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
4	1, 2, 3	aks4d1p1 42475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 < (2↑𝐵))
6		2re 12233	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
9		2pos 12262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
11		eluzelz 12775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		0red 11149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
15		3re 12239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
17		3pos 12264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 3
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
19		eluzle 12778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
20	1, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
21	14, 16, 13, 18, 20	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
22		1red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23		1lt2 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 < 2
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
25	22, 24	ltned 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
26	25	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
27	7, 10, 13, 21, 26	relogbcld 42372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28		5nn0 12435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
30	27, 29	reexpcld 14100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31		ceilcl 13776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
33	8, 32	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
34	32	zred 12610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
35	8, 34	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36		7re 12252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℝ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
38		7pos 12270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 7
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
40	13, 20	3lexlogpow5ineq3 42456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
41	14, 37, 30, 39, 40	lttrd 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42		ceilge 13779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
43	30, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
44	14, 30, 34, 41, 43	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
45	44, 8	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
46	14, 35, 45	ltled 11295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
47	33, 46	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
48		elnn0z 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
49	47, 48	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0)
50	7, 49	reexpcld 14100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
52		elfznn 13483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℕ)
54	53	nnzd 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℤ)
55	54	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℤ))
56	55	ssrdv 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
57		fzfid 13910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
58		lcmfcl 16569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
59	56, 57, 58	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
60	59	nn0red 12477	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
62	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
63		elnnz 12512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
64	12, 21, 63	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
65	7, 10, 35, 45, 26	relogbcld 42372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
66	65	flcld 13732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
67	7, 10, 7, 10, 26	relogbcld 42372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
68		0le1 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
70	7	recnd 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
71	14, 10	gtned 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
72		logbid1 26751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
73	70, 71, 26, 72	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
74	73	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
75	69, 74	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 2))
76		2z 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
78	7	leidd 11717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
79		2lt7 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 < 7
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 < 7)
81	7, 37, 80	ltled 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 7)
82	37, 30, 34, 40, 43	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
83	82, 8	breqtrrd 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 7 < 𝐵)
84	37, 35, 83	ltled 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
85	7, 37, 35, 81, 84	letrd 11304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
86	77, 78, 7, 10, 35, 45, 85	logblebd 42375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
87	14, 67, 65, 75, 86	letrd 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
88		0zd 12514	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
89		flge 13739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
90	65, 88, 89	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
91	87, 90	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
92	66, 91	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
93		elnn0z 12515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
94	92, 93	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
95	64, 94	nnexpcld 14182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
96		fzfid 13910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
97	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98		elfznn 13483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
100	99	nnnn0d 12476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101		zexpcl 14013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
102	97, 100, 101	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
103		1zzd 12536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
104	102, 103	zsubcld 12615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105		1cnd 11141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℂ)
106	105	addridd 11347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) = 1)
107	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
108		1nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
110	13, 109	reexpcld 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111	110	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112	102	zred 12610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℝ)
113		1lt3 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 3
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 3)
115	22, 16, 13, 114, 20	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
116	13	recnd 11174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
117	116	exp1d 14078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑1) = 𝑁)
118	117	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑁↑1))
119	115, 118	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁↑1))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑1))
121	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
122	64	nnge1d 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
124		elfzuz 13450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
126	121, 123, 125	leexp2ad 14191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ≤ (𝑁↑𝑘))
127	107, 111, 112, 120, 126	ltletrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑𝑘))
128	106, 127	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) < (𝑁↑𝑘))
129	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
130	107, 129, 112	ltaddsub2d 11752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((1 + 0) < (𝑁↑𝑘) ↔ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
131	128, 130	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1))
132	104, 131	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
133		elnnz 12512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑𝑘) − 1)))
134	132, 133	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
135	96, 134	fprodnncl 15892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
136	95, 135	nnmulcld 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
137	62, 136	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
138	137	nnred 12174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
139	138	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
140	1, 2, 3	aks4d1p2 42476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
141	140	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
142	137	nnzd 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
144	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
145		fzfid 13910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (1...𝐵) ∈ Fin)
146		lcmfdvdsb 16584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
147	143, 144, 145, 146	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
148	147	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
149	148	syldbl2 842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴)
150	59	nn0zd 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
151	150	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
152	137	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
153		dvdsle 16251	. . . . . . . 8 ⊢ (((lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
154	151, 152, 153	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
155	149, 154	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴)
156	51, 61, 139, 141, 155	letrd 11304	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → (2↑𝐵) ≤ 𝐴)
157	51, 139	lenltd 11293	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ((2↑𝐵) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (2↑𝐵)))
158	156, 157	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ 𝐴 < (2↑𝐵))
159	5, 158	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
160		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
161	159, 160	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
162		rexnal 3090	. 2 ⊢ (∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟 ∥ 𝐴)
163	161, 162	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℕcn 12159  2c2 12214  3c3 12215  5c5 12217  7c7 12219  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437  ⌊cfl 13724  ⌈cceil 13725  ↑cexp 13998  ∏cprod 15840   ∥ cdvds 16193  lcmclcmf 16530   log_b clogb 26747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cc 10359  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118  ax-addf 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-omul 8414  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-fi 9328  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-dju 9827  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-ceil 13727  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-fac 14211  df-bc 14240  df-hash 14268  df-shft 15004  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-limsup 15408  df-clim 15425  df-rlim 15426  df-sum 15624  df-prod 15841  df-ef 16004  df-e 16005  df-sin 16006  df-cos 16007  df-pi 16009  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-lcm 16531  df-lcmf 16532  df-prm 16613  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-starv 17206  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-unif 17214  df-hom 17215  df-cco 17216  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-pt 17378  df-prds 17381  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-xps 17445  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-fbas 21323  df-fg 21324  df-cnfld 21327  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cld 22980  df-ntr 22981  df-cls 22982  df-nei 23059  df-lp 23097  df-perf 23098  df-cn 23188  df-cnp 23189  df-haus 23276  df-cmp 23348  df-tx 23523  df-hmeo 23716  df-fil 23807  df-fm 23899  df-flim 23900  df-flf 23901  df-xms 24281  df-ms 24282  df-tms 24283  df-cncf 24844  df-ovol 25438  df-vol 25439  df-mbf 25593  df-itg1 25594  df-itg2 25595  df-ibl 25596  df-itg 25597  df-0p 25644  df-limc 25840  df-dv 25841  df-log 26538  df-cxp 26539  df-logb 26748

This theorem is referenced by:  aks4d1p4  42478  aks4d1p5  42479  aks4d1p7  42482  aks4d1p8  42486