Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p3 41543
Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p3.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p3.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p3.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1p3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p3
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p3.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
2 aks4d1p3.2 . . . . . 6 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
3 aks4d1p3.3 . . . . . 6 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
41, 2, 3aks4d1p1 41541 . . . . 5 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 < (2↑𝐵))
6 2re 12310 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
83a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
9 2pos 12339 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
11 eluzelz 12856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zred 12690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
14 0red 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
15 3re 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
17 3pos 12341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 3)
19 eluzle 12859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
2114, 16, 13, 18, 20ltletrd 11398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑁)
22 1red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
23 1lt2 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 < 2)
2522, 24ltned 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2625necomd 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 1)
277, 10, 13, 21, 26relogbcld 41437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28 5nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
3027, 29reexpcld 14153 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31 ceilcl 13833 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
338, 32eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3432zred 12690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
358, 34eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
36 7re 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
38 7pos 12347 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 7
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 7)
4013, 203lexlogpow5ineq3 41522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4114, 37, 30, 39, 40lttrd 11399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42 ceilge 13836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4414, 30, 34, 41, 43ltletrd 11398 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4544, 8breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐵)
4614, 35, 45ltled 11386 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
4733, 46jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
48 elnn0z 12595 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐵))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
507, 49reexpcld 14153 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (2↑𝐵) ∈ ℝ)
52 elfznn 13556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℕ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℕ)
5453nnzd 12609 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞 ∈ (1...𝐵)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5554ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑞 ∈ (1...𝐵) → 𝑞 ∈ ℤ))
5655ssrdv 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
57 fzfid 13964 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
58 lcmfcl 16592 . . . . . . . . 9 (((1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
5956, 57, 58syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℕ0)
6059nn0red 12557 . . . . . . 7 (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℝ)
622a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
63 elnnz 12592 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
6412, 21, 63sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
657, 10, 35, 45, 26relogbcld 41437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
6665flcld 13789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
677, 10, 7, 10, 26relogbcld 41437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 2) ∈ ℝ)
68 0le1 11761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 1)
707recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7114, 10gtned 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 ≠ 0)
72 logbid1 26693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 2) = 1)
7370, 71, 26, 72syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 2) = 1)
7473eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 = (2 logb 2))
7569, 74breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 2))
76 2z 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
787leidd 11804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ 2)
79 2lt7 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 < 7
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 2 < 7)
817, 37, 80ltled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 ≤ 7)
8237, 30, 34, 40, 43ltletrd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 7 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
8382, 8breqtrrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 7 < 𝐵)
8437, 35, 83ltled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
857, 37, 35, 81, 84letrd 11395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
8677, 78, 7, 10, 35, 45, 85logblebd 41440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb 2) ≤ (2 logb 𝐵))
8714, 67, 65, 75, 86letrd 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
88 0zd 12594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
89 flge 13796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
9065, 88, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
9187, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
9266, 91jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
93 elnn0z 12595 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
9564, 94nnexpcld 14233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℕ)
96 fzfid 13964 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
9712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
98 elfznn 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
10099nnnn0d 12556 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
101 zexpcl 14067 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
10297, 100, 101syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
103 1zzd 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
104102, 103zsubcld 12695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
105 1cnd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℂ)
106105addridd 11438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) = 1)
10722adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℝ)
108 1nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
11013, 109reexpcld 14153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112102zred 12690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁𝑘) ∈ ℝ)
113 1lt3 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 < 3)
11522, 16, 13, 114, 20ltletrd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 𝑁)
11613recnd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
117116exp1d 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑁↑1) = 𝑁)
118117eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 = (𝑁↑1))
119115, 118breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 < (𝑁↑1))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁↑1))
12113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
12264nnge1d 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ≤ 𝑁)
124 elfzuz 13523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
126121, 123, 125leexp2ad 14242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑1) ≤ (𝑁𝑘))
127107, 111, 112, 120, 126ltletrd 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 < (𝑁𝑘))
128106, 127eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (1 + 0) < (𝑁𝑘))
12914adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 ∈ ℝ)
130107, 129, 112ltaddsub2d 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((1 + 0) < (𝑁𝑘) ↔ 0 < ((𝑁𝑘) − 1)))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 0 < ((𝑁𝑘) − 1))
132104, 131jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁𝑘) − 1)))
133 elnnz 12592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁𝑘) − 1)))
134132, 133sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ)
13596, 134fprodnncl 15925 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℕ)
13695, 135nnmulcld 12289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) ∈ ℕ)
13762, 136eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
138137nnred 12251 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
139138adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
1401, 2, 3aks4d1p2 41542 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
141140adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
142137nnzd 12609 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
143142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
14456adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (1...𝐵) ⊆ ℤ)
145 fzfid 13964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (1...𝐵) ∈ Fin)
146 lcmfdvdsb 16607 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1...𝐵) ⊆ ℤ ∧ (1...𝐵) ∈ Fin) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
147143, 144, 145, 146syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴 ↔ (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
148147biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴))
149148syldbl2 840 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴)
15059nn0zd 12608 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
151150adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ)
152137adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ)
153 dvdsle 16280 . . . . . . . 8 (((lcm‘(1...𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
154151, 152, 153syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ((lcm‘(1...𝐵)) ∥ 𝐴 → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴))
155149, 154mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (lcm‘(1...𝐵)) ≤ 𝐴)
15651, 61, 139, 141, 155letrd 11395 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → (2↑𝐵) ≤ 𝐴)
15751, 139lenltd 11384 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ((2↑𝐵) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (2↑𝐵)))
158156, 157mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ¬ 𝐴 < (2↑𝐵))
1595, 158pm2.21dd 194 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
160 simpr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴) → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
161159, 160pm2.61dan 812 . 2 (𝜑 → ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
162 rexnal 3096 . 2 (∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ (1...𝐵)𝑟𝐴)
163161, 162sylibr 233 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  wss 3945   class class class wbr 5142  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137   < clt 11272  cle 11273  cmin 11468  cn 12236  2c2 12291  3c3 12292  5c5 12294  7c7 12296  0cn0 12496  cz 12582  cuz 12846  ...cfz 13510  cfl 13781  cceil 13782  cexp 14052  cprod 15875  cdvds 16224  lcmclcmf 16553   logb clogb 26689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-ceil 13784  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-prod 15876  df-ef 16037  df-e 16038  df-sin 16039  df-cos 16040  df-pi 16042  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-lcm 16554  df-lcmf 16555  df-prm 16636  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-cmp 23284  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-ovol 25386  df-vol 25387  df-mbf 25541  df-itg1 25542  df-itg2 25543  df-ibl 25544  df-itg 25545  df-0p 25592  df-limc 25788  df-dv 25789  df-log 26483  df-cxp 26484  df-logb 26690
This theorem is referenced by:  aks4d1p4  41544  aks4d1p5  41545  aks4d1p7  41548  aks4d1p8  41552
  Copyright terms: Public domain W3C validator