Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p3 41605
Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p3.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
aks4d1p3.2 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
aks4d1p3.3 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1p3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡) Β¬ π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐡,π‘Ÿ   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ)   𝐴(π‘˜)   𝐡(π‘˜)   𝑁(π‘Ÿ)

Proof of Theorem aks4d1p3
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p3.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
2 aks4d1p3.2 . . . . . 6 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
3 aks4d1p3.3 . . . . . 6 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5))
41, 2, 3aks4d1p1 41603 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
54adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 < (2↑𝐡))
6 2re 12316 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
83a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
9 2pos 12345 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
11 eluzelz 12862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1312zred 12696 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
14 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
15 3re 12322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
17 3pos 12347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 3)
19 eluzle 12865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 3 ≀ 𝑁)
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
2114, 16, 13, 18, 20ltletrd 11404 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑁)
22 1red 11245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
23 1lt2 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 < 2)
2522, 24ltned 11380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 β‰  2)
2625necomd 2986 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 β‰  1)
277, 10, 13, 21, 26relogbcld 41499 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
28 5nn0 12522 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ β„•0
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ∈ β„•0)
3027, 29reexpcld 14159 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
31 ceilcl 13839 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ β†’ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ β„€)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ β„€)
338, 32eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
3432zred 12696 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
358, 34eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
36 7re 12335 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℝ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 7 ∈ ℝ)
38 7pos 12353 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 7
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 7)
4013, 203lexlogpow5ineq3 41584 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
4114, 37, 30, 39, 40lttrd 11405 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
42 ceilge 13842 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ β†’ ((2 logb 𝑁)↑5) ≀ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
4330, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((2 logb 𝑁)↑5) ≀ (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
4414, 30, 34, 41, 43ltletrd 11404 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
4544, 8breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
4614, 35, 45ltled 11392 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
4733, 46jca 510 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐡))
48 elnn0z 12601 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ β„•0 ↔ (𝐡 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐡))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
507, 49reexpcld 14159 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝐡) ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝐡) ∈ ℝ)
52 elfznn 13562 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ž ∈ (1...𝐡) β†’ π‘ž ∈ β„•)
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ (1...𝐡)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
5453nnzd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ (1...𝐡)) β†’ π‘ž ∈ β„€)
5554ex 411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ž ∈ (1...𝐡) β†’ π‘ž ∈ β„€))
5655ssrdv 3978 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝐡) βŠ† β„€)
57 fzfid 13970 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝐡) ∈ Fin)
58 lcmfcl 16598 . . . . . . . . 9 (((1...𝐡) βŠ† β„€ ∧ (1...𝐡) ∈ Fin) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„•0)
5956, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„•0)
6059nn0red 12563 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ ℝ)
6160adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ ℝ)
622a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
63 elnnz 12598 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• ↔ (𝑁 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑁))
6412, 21, 63sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
657, 10, 35, 45, 26relogbcld 41499 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 logb 𝐡) ∈ ℝ)
6665flcld 13795 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„€)
677, 10, 7, 10, 26relogbcld 41499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2 logb 2) ∈ ℝ)
68 0le1 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≀ 1
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
707recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
7114, 10gtned 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
72 logbid1 26718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0 ∧ 2 β‰  1) β†’ (2 logb 2) = 1)
7370, 71, 26, 72syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 logb 2) = 1)
7473eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 = (2 logb 2))
7569, 74breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 logb 2))
76 2z 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„€
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
787leidd 11810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 2)
79 2lt7 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 < 7
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 2 < 7)
817, 37, 80ltled 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 7)
8237, 30, 34, 40, 43ltletrd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 7 < (βŒˆβ€˜((2 logb 𝑁)↑5)))
8382, 8breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 7 < 𝐡)
8437, 35, 83ltled 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 7 ≀ 𝐡)
857, 37, 35, 81, 84letrd 11401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝐡)
8677, 78, 7, 10, 35, 45, 85logblebd 41502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (2 logb 2) ≀ (2 logb 𝐡))
8714, 67, 65, 75, 86letrd 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (2 logb 𝐡))
88 0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
89 flge 13802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 logb 𝐡) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (0 ≀ (2 logb 𝐡) ↔ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
9065, 88, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (2 logb 𝐡) ↔ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
9187, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)))
9266, 91jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
93 elnn0z 12601 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„•0 ↔ ((βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„€ ∧ 0 ≀ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))))
9492, 93sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡)) ∈ β„•0)
9564, 94nnexpcld 14239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) ∈ β„•)
96 fzfid 13970 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
9712adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
98 elfznn 13562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9998adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10099nnnn0d 12562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
101 zexpcl 14073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„€)
10297, 100, 101syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ β„€)
103 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ∈ β„€)
104102, 103zsubcld 12701 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€)
105 1cnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ∈ β„‚)
106105addridd 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (1 + 0) = 1)
10722adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
108 1nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„•0
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•0)
11013, 109reexpcld 14159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑁↑1) ∈ ℝ)
111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (𝑁↑1) ∈ ℝ)
112102zred 12696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (π‘β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
113 1lt3 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 1 < 3)
11522, 16, 13, 114, 20ltletrd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 < 𝑁)
11613recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
117116exp1d 14137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑁↑1) = 𝑁)
118117eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 = (𝑁↑1))
119115, 118breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 1 < (𝑁↑1))
120119adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 < (𝑁↑1))
12113adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
12264nnge1d 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑁)
123122adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 ≀ 𝑁)
124 elfzuz 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
125124adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
126121, 123, 125leexp2ad 14248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (𝑁↑1) ≀ (π‘β†‘π‘˜))
127107, 111, 112, 120, 126ltletrd 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 1 < (π‘β†‘π‘˜))
128106, 127eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (1 + 0) < (π‘β†‘π‘˜))
12914adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
130107, 129, 112ltaddsub2d 11845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ ((1 + 0) < (π‘β†‘π‘˜) ↔ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
131128, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1))
132104, 131jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ (((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
133 elnnz 12598 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 < ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)))
134132, 133sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))) β†’ ((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•)
13596, 134fprodnncl 15931 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•)
13695, 135nnmulcld 12295 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑁↑(βŒŠβ€˜(2 logb 𝐡))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜((2 logb 𝑁)↑2)))((π‘β†‘π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„•)
13762, 136eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
138137nnred 12257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
139138adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1401, 2, 3aks4d1p2 41604 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝐡) ≀ (lcmβ€˜(1...𝐡)))
141140adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝐡) ≀ (lcmβ€˜(1...𝐡)))
142137nnzd 12615 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
143142adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
14456adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (1...𝐡) βŠ† β„€)
145 fzfid 13970 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (1...𝐡) ∈ Fin)
146 lcmfdvdsb 16613 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ (1...𝐡) βŠ† β„€ ∧ (1...𝐡) ∈ Fin) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 ↔ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴))
147143, 144, 145, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 ↔ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴))
148147biimpd 228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴))
149148syldbl2 839 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴)
15059nn0zd 12614 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„€)
151150adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„€)
152137adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
153 dvdsle 16286 . . . . . . . 8 (((lcmβ€˜(1...𝐡)) ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ ((lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴 β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ≀ 𝐴))
154151, 152, 153syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ ((lcmβ€˜(1...𝐡)) βˆ₯ 𝐴 β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ≀ 𝐴))
155149, 154mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (lcmβ€˜(1...𝐡)) ≀ 𝐴)
15651, 61, 139, 141, 155letrd 11401 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ (2↑𝐡) ≀ 𝐴)
15751, 139lenltd 11390 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ ((2↑𝐡) ≀ 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 < (2↑𝐡)))
158156, 157mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 < (2↑𝐡))
1595, 158pm2.21dd 194 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
160 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴) β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
161159, 160pm2.61dan 811 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
162 rexnal 3090 . 2 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡) Β¬ π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴 ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ (1...𝐡)π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
163161, 162sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (1...𝐡) Β¬ π‘Ÿ βˆ₯ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  2c2 12297  3c3 12298  5c5 12300  7c7 12302  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  βŒŠcfl 13787  βŒˆcceil 13788  β†‘cexp 14058  βˆcprod 15881   βˆ₯ cdvds 16230  lcmclcmf 16559   logb clogb 26714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-ceil 13790  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-prod 15882  df-ef 16043  df-e 16044  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-lcm 16560  df-lcmf 16561  df-prm 16642  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-itg 25570  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509  df-logb 26715
This theorem is referenced by:  aks4d1p4  41606  aks4d1p5  41607  aks4d1p7  41610  aks4d1p8  41614
  Copyright terms: Public domain W3C validator