Theorem aks4d1p2 42399

Description: Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p2.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p2.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p2	⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Proof of Theorem aks4d1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p2.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3		2re 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7		aks4d1p2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
8		eluzelz 12765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		0red 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		3re 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
14		3pos 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
16		eluzle 12768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
18	11, 13, 10, 15, 17	ltletrd 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19		1red 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20		1lt2 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22	19, 21	ltned 11273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
23	22	necomd 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
24	4, 6, 10, 18, 23	relogbcld 42295	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
25		5nn0 12425	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
27	24, 26	reexpcld 14090	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
28		ceilcl 13766	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
30	2, 29	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	29	zred 12600	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
32		7re 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
34		7pos 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
36	10, 17	3lexlogpow5ineq3 42379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
37	11, 33, 27, 35, 36	lttrd 11298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
38		ceilge 13769	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
39	27, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
40	11, 27, 31, 37, 39	ltletrd 11297	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
41	40, 2	breqtrrd 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
42	30, 41	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
43		elnnz 12502	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
44	42, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
45	33, 27, 36	ltled 11285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
46	33, 27, 31, 45, 39	letrd 11294	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
47	46, 2	breqtrrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
48	44, 47	lcmineqlem 42374	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12149  2c2 12204  3c3 12205  5c5 12207  7c7 12209  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427  ⌊cfl 13714  ⌈cceil 13715  ↑cexp 13988  ∏cprod 15830  lcmclcmf 16520   log_b clogb 26734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-ceil 13717  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-prod 15831  df-ef 15994  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-lcm 16521  df-lcmf 16522  df-prm 16603  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-ovol 25425  df-vol 25426  df-mbf 25580  df-itg1 25581  df-itg2 25582  df-ibl 25583  df-itg 25584  df-0p 25631  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525  df-cxp 26526  df-logb 26735

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  42400