Theorem aks4d1p2 42366

Description: Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p2.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p2.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p2	⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Proof of Theorem aks4d1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p2.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3		2re 12221	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7		aks4d1p2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
8		eluzelz 12763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		0red 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		3re 12227	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
14		3pos 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
16		eluzle 12766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
18	11, 13, 10, 15, 17	ltletrd 11295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19		1red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20		1lt2 12313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22	19, 21	ltned 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
23	22	necomd 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
24	4, 6, 10, 18, 23	relogbcld 42262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
25		5nn0 12423	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
27	24, 26	reexpcld 14088	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
28		ceilcl 13764	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
30	2, 29	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	29	zred 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
32		7re 12240	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
34		7pos 12258	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
36	10, 17	3lexlogpow5ineq3 42346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
37	11, 33, 27, 35, 36	lttrd 11296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
38		ceilge 13767	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
39	27, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
40	11, 27, 31, 37, 39	ltletrd 11295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
41	40, 2	breqtrrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
42	30, 41	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
43		elnnz 12500	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
44	42, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
45	33, 27, 36	ltled 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
46	33, 27, 31, 45, 39	letrd 11292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
47	46, 2	breqtrrd 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
48	44, 47	lcmineqlem 42341	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕcn 12147  2c2 12202  3c3 12203  5c5 12205  7c7 12207  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13425  ⌊cfl 13712  ⌈cceil 13713  ↑cexp 13986  ∏cprod 15828  lcmclcmf 16518   log_b clogb 26732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cc 10347  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-symdif 4204  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-fi 9316  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-xneg 13028  df-xadd 13029  df-xmul 13030  df-ioo 13267  df-ioc 13268  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-ceil 13715  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-lcm 16519  df-lcmf 16520  df-prm 16601  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-psmet 21303  df-xmet 21304  df-met 21305  df-bl 21306  df-mopn 21307  df-fbas 21308  df-fg 21309  df-cnfld 21312  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22892  df-cld 22965  df-ntr 22966  df-cls 22967  df-nei 23044  df-lp 23082  df-perf 23083  df-cn 23173  df-cnp 23174  df-haus 23261  df-cmp 23333  df-tx 23508  df-hmeo 23701  df-fil 23792  df-fm 23884  df-flim 23885  df-flf 23886  df-xms 24266  df-ms 24267  df-tms 24268  df-cncf 24829  df-ovol 25423  df-vol 25424  df-mbf 25578  df-itg1 25579  df-itg2 25580  df-ibl 25581  df-itg 25582  df-0p 25629  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26523  df-cxp 26524  df-logb 26733

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  42367