Theorem aks4d1p2 42072

Description: Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p2.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p2.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p2	⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Proof of Theorem aks4d1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p2.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3		2re 12267	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7		aks4d1p2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
8		eluzelz 12810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		0red 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		3re 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
14		3pos 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
16		eluzle 12813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
18	11, 13, 10, 15, 17	ltletrd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19		1red 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20		1lt2 12359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22	19, 21	ltned 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
23	22	necomd 2981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
24	4, 6, 10, 18, 23	relogbcld 41968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
25		5nn0 12469	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
27	24, 26	reexpcld 14135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
28		ceilcl 13811	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
30	2, 29	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	29	zred 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
32		7re 12286	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
34		7pos 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
36	10, 17	3lexlogpow5ineq3 42052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
37	11, 33, 27, 35, 36	lttrd 11342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
38		ceilge 13814	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
39	27, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
40	11, 27, 31, 37, 39	ltletrd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
41	40, 2	breqtrrd 5138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
42	30, 41	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
43		elnnz 12546	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
44	42, 43	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
45	33, 27, 36	ltled 11329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
46	33, 27, 31, 45, 39	letrd 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
47	46, 2	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
48	44, 47	lcmineqlem 42047	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  5c5 12251  7c7 12253  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ⌊cfl 13759  ⌈cceil 13760  ↑cexp 14033  ∏cprod 15876  lcmclcmf 16566   log_b clogb 26681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-symdif 4219  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-lcm 16567  df-lcmf 16568  df-prm 16649  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-cmp 23281  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528  df-itg2 25529  df-ibl 25530  df-itg 25531  df-0p 25578  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  42073