Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p2 41580
Description: Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p2.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p2.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p2.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1p2 (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Proof of Theorem aks4d1p2
StepHypRef Expression
1 aks4d1p2.3 . . . . . 6 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3 2re 12324 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5 2pos 12353 . . . . . . . . 9 0 < 2
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 2)
7 aks4d1p2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
8 eluzelz 12870 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
109zred 12704 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
11 0red 11255 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12 3re 12330 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
14 3pos 12355 . . . . . . . . . 10 0 < 3
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 3)
16 eluzle 12873 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
177, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
1811, 13, 10, 15, 17ltletrd 11412 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑁)
19 1red 11253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20 1lt2 12421 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 2)
2219, 21ltned 11388 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ≠ 2)
2322necomd 2993 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 1)
244, 6, 10, 18, 23relogbcld 41475 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
25 5nn0 12530 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
2625a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
2724, 26reexpcld 14167 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
28 ceilcl 13847 . . . . . 6 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
302, 29eqeltrd 2829 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3129zred 12704 . . . . . 6 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
32 7re 12343 . . . . . . . 8 7 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
34 7pos 12361 . . . . . . . 8 0 < 7
3534a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 7)
3610, 173lexlogpow5ineq3 41560 . . . . . . 7 (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
3711, 33, 27, 35, 36lttrd 11413 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
38 ceilge 13850 . . . . . . 7 (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3927, 38syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4011, 27, 31, 37, 39ltletrd 11412 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4140, 2breqtrrd 5180 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
4230, 41jca 510 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
43 elnnz 12606 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
4442, 43sylibr 233 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
4533, 27, 36ltled 11400 . . . 4 (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
4633, 27, 31, 45, 39letrd 11409 . . 3 (𝜑 → 7 ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
4746, 2breqtrrd 5180 . 2 (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
4844, 47lcmineqlem 41555 1 (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  cn 12250  2c2 12305  3c3 12306  5c5 12308  7c7 12310  0cn0 12510  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524  cfl 13795  cceil 13796  cexp 14066  cprod 15889  lcmclcmf 16567   logb clogb 26716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4245  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-ceil 13798  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-prod 15890  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-lcm 16568  df-lcmf 16569  df-prm 16650  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-itg 25572  df-0p 25619  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-cxp 26511  df-logb 26717
This theorem is referenced by:  aks4d1p3  41581
  Copyright terms: Public domain W3C validator