Theorem aks4d1p2 40013

Description: Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p2.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p2.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p2.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p2	⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Proof of Theorem aks4d1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p2.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3		2re 11977	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
5		2pos 12006	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
7		aks4d1p2.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
8		eluzelz 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		0red 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
12		3re 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
14		3pos 12008	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
16		eluzle 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
18	11, 13, 10, 15, 17	ltletrd 11065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
19		1red 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
20		1lt2 12074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
22	19, 21	ltned 11041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
23	22	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
24	4, 6, 10, 18, 23	relogbcld 39908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
25		5nn0 12183	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
26	25	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
27	24, 26	reexpcld 13809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
28		ceilcl 13490	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
29	27, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
30	2, 29	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
31	29	zred 12355	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
32		7re 11996	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
34		7pos 12014	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 7
35	34	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 7)
36	10, 17	3lexlogpow5ineq3 39993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 7 < ((2 logb 𝑁)↑5))
37	11, 33, 27, 35, 36	lttrd 11066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < ((2 logb 𝑁)↑5))
38		ceilge 13493	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
39	27, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
40	11, 27, 31, 37, 39	ltletrd 11065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
41	40, 2	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
42	30, 41	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
43		elnnz 12259	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵))
44	42, 43	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
45	33, 27, 36	ltled 11053	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ ((2 logb 𝑁)↑5))
46	33, 27, 31, 45, 39	letrd 11062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
47	46, 2	breqtrrd 5098	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝐵)
48	44, 47	lcmineqlem 39988	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝐵) ≤ (lcm‘(1...𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  5c5 11961  7c7 11963  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  ⌈cceil 13439  ↑cexp 13710  ∏cprod 15543  lcmclcmf 16222   log_b clogb 25819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-symdif 4173  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-ceil 13441  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-prod 15544  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-lcm 16223  df-lcmf 16224  df-prm 16305  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688  df-itg1 24689  df-itg2 24690  df-ibl 24691  df-itg 24692  df-0p 24739  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618  df-logb 25820

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  40014