Theorem chnflenfi 18720

Description: There is a finite number of chains with fixed length over finite alphabet. Trivially holds for invalid lengths as there're no matching sequences. (Contributed by Ender Ting, 5-Jan-2025.) (Revised by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnflenfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑇,𝑎   < ,𝑎

Proof of Theorem chnflenfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdnfi 14615	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
2		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	chnwrd 18700	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑎 ∈ Word 𝐴)
4	3	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑇)) → 𝑎 ∈ Word 𝐴)
5	4	rabss3d 4032	. . 3 ⊢ (⊤ → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇})
6	5	mptru 1577	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇}
7		ssfi 9170	. 2 ⊢ (({𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇}) → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  Fincfn 8955  ♯chash 14396  Word cword 14580   Chain cchn 18697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-word 14581  df-chn 18698

This theorem is used by:  chnfi  18726