Theorem chnflenfi 18763

Description: There is a finite number of chains with fixed length over finite alphabet. Trivially holds for invalid lengths as there're no matching sequences. (Contributed by Ender Ting, 5-Jan-2025.) (Revised by Ender Ting, 17-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
chnflenfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑇,𝑎   < ,𝑎

Proof of Theorem chnflenfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdnfi 14660	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
2		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴))
3	2	chnwrd 18743	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) → 𝑎 ∈ Word 𝐴)
4	3	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∧ (♯‘𝑎) = 𝑇)) → 𝑎 ∈ Word 𝐴)
5	4	rabss3d 4028	. . 3 ⊢ (⊤ → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇})
6	5	mptru 1577	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇}
7		ssfi 9166	. 2 ⊢ (({𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ⊆ {𝑎 ∈ Word 𝐴 ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇}) → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)
8	1, 6, 7	sylancl 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑎 ∈ ( < Chain 𝐴) ∣ (♯‘𝑎) = 𝑇} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  Fincfn 8951  ♯chash 14441  Word cword 14625   Chain cchn 18740

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-word 14626  df-chn 18741

This theorem is used by:  chnfi  18769