Theorem dmclimxlim 46386

Description: A real valued sequence that converges w.r.t. the topology on the complex numbers, converges w.r.t. the topology on the extended reals (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmclimxlim.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dmclimxlim.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dmclimxlim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
dmclimxlim.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
dmclimxlim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ~~>*)

Proof of Theorem dmclimxlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 46355	. 2 ⊢ Rel ~~>*
2		dmclimxlim.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		dmclimxlim.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		dmclimxlim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5		dmclimxlim.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6	2, 3, 4	climliminf 46341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
7	5, 6	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
8	2, 3, 4, 7	climxlim 46361	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*(lim inf‘𝐹))
9		releldm 5916	. 2 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(lim inf‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
10	1, 8, 9	sylancr 596	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ~~>*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  Rel wrel 5648  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  ℝcr 11066  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833   ⇝ cli 15502  lim infclsi 46286  ~~>*clsxlim 46353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-rest 17442  df-topn 17443  df-topgen 17463  df-ordt 17522  df-ps 18589  df-tsr 18590  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-lm 23277  df-xms 24368  df-ms 24369  df-liminf 46287  df-xlim 46354

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  46397