Theorem dmclimxlim 45052

Description: A real valued sequence that converges w.r.t. the topology on the complex numbers, converges w.r.t. the topology on the extended reals (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmclimxlim.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dmclimxlim.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dmclimxlim.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
dmclimxlim.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
dmclimxlim	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ~~>*)

Proof of Theorem dmclimxlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimrel 45021	. 2 ⊢ Rel ~~>*
2		dmclimxlim.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		dmclimxlim.2	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		dmclimxlim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
5		dmclimxlim.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
6	2, 3, 4	climliminf 45007	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹)))
7	5, 6	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (lim inf‘𝐹))
8	2, 3, 4, 7	climxlim 45027	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹~~>*(lim inf‘𝐹))
9		releldm 5933	. 2 ⊢ ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(lim inf‘𝐹)) → 𝐹 ∈ dom ~~>*)
10	1, 8, 9	sylancr 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ~~>*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  Rel wrel 5671  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ℝcr 11105  ℤcz 12555  ℤ_≥cuz 12819   ⇝ cli 15425  lim infclsi 44952  ~~>*clsxlim 45019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-rest 17367  df-topn 17368  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-lm 23055  df-xms 24148  df-ms 24149  df-liminf 44953  df-xlim 45020

This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  45063