Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dmclimxlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmclimxlim 43847
Description: A real valued sequence that converges w.r.t. the topology on the complex numbers, converges w.r.t. the topology on the extended reals (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dmclimxlim.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dmclimxlim.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dmclimxlim.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
dmclimxlim.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
dmclimxlim (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ~~>*)

Proof of Theorem dmclimxlim
StepHypRef Expression
1 xlimrel 43816 . 2 Rel ~~>*
2 dmclimxlim.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 dmclimxlim.2 . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 dmclimxlim.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„)
5 dmclimxlim.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
62, 3, 4climliminf 43802 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ)))
75, 6mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ (lim infβ€˜πΉ))
82, 3, 4, 7climxlim 43822 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*(lim infβ€˜πΉ))
9 releldm 5896 . 2 ((Rel ~~>* ∧ 𝐹~~>*(lim infβ€˜πΉ)) β†’ 𝐹 ∈ dom ~~>*)
101, 8, 9sylancr 588 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ~~>*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5104  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  β„cr 10984  β„€cz 12433  β„€β‰₯cuz 12696   ⇝ cli 15301  lim infclsi 43747  ~~>*clsxlim 43814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-limsup 15288  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-struct 16954  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-rest 17239  df-topn 17240  df-topgen 17260  df-ordt 17318  df-ps 18390  df-tsr 18391  df-psmet 20712  df-xmet 20713  df-met 20714  df-bl 20715  df-mopn 20716  df-cnfld 20721  df-top 22166  df-topon 22183  df-topsp 22205  df-bases 22219  df-lm 22503  df-xms 23596  df-ms 23597  df-liminf 43748  df-xlim 43815
This theorem is referenced by:  xlimliminflimsup  43858
  Copyright terms: Public domain W3C validator