Theorem clwlkclwwlklem1 29249

Description: Lemma 1 for clwlkclwwlk 29252. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.) (Revised by AV, 11-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwlkclwwlklem1	⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑓,𝑉,𝑖

Proof of Theorem clwlkclwwlklem1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7441	. . 3 ⊢ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V
2		mptexg 7222	. . 3 ⊢ ((0..^((♯‘𝑃) − 1)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ V)
3	1, 2	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ V)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))
5	4	clwlkclwwlklem2a 29248	. . . 4 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))))
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))))
7		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸))
8		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (♯‘𝑓) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))
9	8	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (0...(♯‘𝑓)) = (0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))
10	9	feq2d 6703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉))
11	8	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (0..^(♯‘𝑓)) = (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))
12		fveq1 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑓‘𝑖) = ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖))
13	12	fveqeq2d 6899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ (𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
14	11, 13	raleqbidv 3342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
15	7, 10, 14	3anbi123d 1436	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
16		2fveq3 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (𝑃‘(♯‘𝑓)) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))
17	16	eqeq2d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))))
18	15, 17	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → (((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓))) ↔ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))))))))
19	18	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) → ((((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) ↔ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))))))
20	19	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))) → ((((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))) ↔ (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)}))) ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))(𝐸‘((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))))))))
21	6, 20	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑃) − 1)) ↦ if(𝑥 < ((♯‘𝑃) − 2), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}), (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘0)})))) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))
22	3, 21	spcimedv 3585	1 ⊢ ((𝐸:dom 𝐸–1-1→𝑅 ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑃)) → (((lastS‘𝑃) = (𝑃‘0) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^((((♯‘𝑃) − 1) − 0) − 1)){(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {(𝑃‘((♯‘𝑃) − 2)), (𝑃‘0)} ∈ ran 𝐸)) → ∃𝑓((𝑓 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝑓))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝐸‘(𝑓‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474  ifcif 4528  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11443  2c2 12266  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289  Word cword 14463  lastSclsw 14511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512

This theorem is referenced by:  clwlkclwwlklem3  29251