Theorem clwwlken 30475

Description: The set of closed walks of a fixed length represented by walks (as words) and the set of closed walks (as words) of the fixed length are equinumerous. (Contributed by AV, 5-Jun-2022.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlken	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ≈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁

Proof of Theorem clwwlken

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7453	. . 3 ⊢ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∈ V
2	1	rabex 5311	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ∈ V
3		ovex 7453	. 2 ⊢ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}
5		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ↦ (𝑐 prefix 𝑁)) = (𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ↦ (𝑐 prefix 𝑁))
6	4, 5	clwwlkf1o 30474	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ↦ (𝑐 prefix 𝑁)):{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}–1-1-onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺))
7		f1oen2g 8972	. 2 ⊢ (({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ∈ V ∧ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ V ∧ (𝑐 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ↦ (𝑐 prefix 𝑁)):{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)}–1-1-onto→(𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ≈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
8	2, 3, 6, 7	mp3an12i 1494	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastS‘𝑤) = (𝑤‘0)} ≈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3418  Vcvv 3457   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420   ≈ cen 8947  0cc0 11120  ℕcn 12253  lastSclsw 14622   prefix cpfx 14735   WWalksN cwwlksn 30247   ClWWalksN cclwwlkn 30447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-hash 14390  df-word 14574  df-lsw 14623  df-concat 14631  df-s1 14658  df-substr 14704  df-pfx 14736  df-wwlks 30251  df-wwlksn 30252  df-clwwlk 30405  df-clwwlkn 30448

This theorem is used by: (None)