MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknwwlkncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknwwlkncl 29046
Description: Obtaining a closed walk (as word) by appending the first symbol to the word representing a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknwwlkncl (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)})
Distinct variable groups:   𝑀,𝐺   𝑀,𝑁   𝑀,π‘Š

Proof of Theorem clwwlknwwlkncl
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknnn 29026 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 eqid 2733 . . 3 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
32clwwlknbp 29028 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁))
4 eqid 2733 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
52, 4clwwlknp 29030 . . 3 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ ((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
6 3simpc 1151 . . 3 (((π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
75, 6syl 17 . 2 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
8 eqid 2733 . . 3 {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)} = {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)}
98clwwlkel 29039 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (π‘Š ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘Š) = 𝑁) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(𝑁 βˆ’ 1)){(π‘Šβ€˜π‘–), (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {(lastSβ€˜π‘Š), (π‘Šβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)})
101, 3, 7, 9syl3anc 1372 1 (π‘Š ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) β†’ (π‘Š ++ βŸ¨β€œ(π‘Šβ€˜0)β€βŸ©) ∈ {𝑀 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (lastSβ€˜π‘€) = (π‘€β€˜0)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459   ++ cconcat 14467  βŸ¨β€œcs1 14492  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047   WWalksN cwwlksn 28820   ClWWalksN cclwwlkn 29017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-wwlks 28824  df-wwlksn 28825  df-clwwlk 28975  df-clwwlkn 29018
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator