Theorem clwwlknon2x 30751

Description: The set of closed walks on vertex 𝑋 of length 2 in a graph 𝐺 as words over the set of vertices, definition of ClWWalksN expanded. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 25-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon2.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon2x.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon2x.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon2x	⊢ (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem clwwlknon2x

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlknon2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
2	1	clwwlknon2 30750	. 2 ⊢ (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}
3		clwwlkn2 30692	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4	3	anbi1i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
5		3anan12 1112	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
6	5	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((((♯‘𝑤) = 2 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
7		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)))
8		clwwlknon2x.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9	8	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = 𝑉
10	9	wrdeqi 14723	. . . . . . . 8 ⊢ Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
11	10	eleq2i 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word 𝑉)
12		df-3an 1105	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
13		clwwlknon2x.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	13	eleq2i 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
15	14	anbi2i 635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16	15	anbi1i 636	. . . . . . . 8 ⊢ ((((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
17	12, 16	bitr2i 279	. . . . . . 7 ⊢ ((((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
18	11, 17	anbi12i 640	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)))
19	7, 18	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)))
20	6, 19	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑤) = 2 ∧ 𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)))
21	4, 20	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)))
22	21	rabbia2 3419	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ (2 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
23	2, 22	eqtri 2786	1 ⊢ (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  {cpr 4590  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240  2c2 12437  ♯chash 14515  Word cword 14699  Vtxcvtx 29631  Edgcedg 29682   ClWWalksN cclwwlkn 30672  ClWWalksNOncclwwlknon 30735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-clwwlk 30630  df-clwwlkn 30673  df-clwwlknon 30736

This theorem is used by:  s2elclwwlknon2  30752  clwwlknon2num  30753