Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknon2num Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlknon2num 27897
 Description: In a 𝐾-regular graph 𝐺, there are 𝐾 closed walks on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 25-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknon2num ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Proof of Theorem clwwlknon2num
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . . 5 (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
2 eqid 2824 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3 eqid 2824 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
41, 2, 3clwwlknon2x 27895 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
54a1i 11 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
65fveq2d 6665 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}))
7 3ancomb 1096 . . . . 5 (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
87rabbii 3458 . . . 4 {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
98fveq2i 6664 . . 3 (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
102rusgrnumwrdl2 27383 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
119, 10syl5eqr 2873 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}) = 𝐾)
126, 11eqtrd 2859 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  {cpr 4552   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536  2c2 11689  ♯chash 13695  Word cword 13866  Vtxcvtx 26796  Edgcedg 26847   RegUSGraph crusgr 27353  ClWWalksNOncclwwlknon 27879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-xadd 12505  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-lsw 13915  df-edg 26848  df-uhgr 26858  df-ushgr 26859  df-upgr 26882  df-umgr 26883  df-uspgr 26950  df-usgr 26951  df-nbgr 27130  df-vtxdg 27263  df-rgr 27354  df-rusgr 27355  df-clwwlk 27774  df-clwwlkn 27817  df-clwwlknon 27880 This theorem is referenced by:  clwlknon2num  28160  numclwwlk5lem  28179
 Copyright terms: Public domain W3C validator