Theorem clwwlknon2num 29902

Description: In a 𝐾-regular graph 𝐺, there are 𝐾 closed walks on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon2num	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Proof of Theorem clwwlknon2num

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon2x 29900	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
6	5	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}))
7		3ancomb 1097	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
8	7	rabbii 3433	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
9	8	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
10	2	rusgrnumwrdl2 29387	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
11	9, 10	eqtr3id 2781	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}) = 𝐾)
12	6, 11	eqtrd 2767	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  {cpr 4626   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  2c2 12289  ♯chash 14313  Word cword 14488  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847   RegUSGraph crusgr 29357  ClWWalksNOncclwwlknon 29884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-lsw 14537  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-ushgr 28859  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-uspgr 28950  df-usgr 28951  df-nbgr 29133  df-vtxdg 29267  df-rgr 29358  df-rusgr 29359  df-clwwlk 29779  df-clwwlkn 29822  df-clwwlknon 29885

This theorem is referenced by:  clwlknon2num  30165  numclwwlk5lem  30184