Theorem clwwlknon2num 27444

Description: In a 𝐾-regular graph 𝐺, there are 𝐾 closed walks on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon2num	⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Proof of Theorem clwwlknon2num

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
2		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon2x 27442	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
6	5	fveq2d 6415	. 2 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}))
7		3ancomb 1122	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
8	7	rabbii 3369	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
9	8	fveq2i 6414	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
10	2	rusgrnumwrdl2 26836	. . 3 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
11	9, 10	syl5eqr 2847	. 2 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}) = 𝐾)
12	6, 11	eqtrd 2833	1 ⊢ ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {crab 3093  {cpr 4370   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225  2c2 11368  ♯chash 13370  Word cword 13534  Vtxcvtx 26231  Edgcedg 26282  RegUSGraphcrusgr 26806  ClWWalksNOncclwwlknon 27423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-xadd 12194  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-edg 26283  df-uhgr 26293  df-ushgr 26294  df-upgr 26317  df-umgr 26318  df-uspgr 26386  df-usgr 26387  df-nbgr 26567  df-vtxdg 26716  df-rgr 26807  df-rusgr 26808  df-clwwlk 27275  df-clwwlkn 27328  df-clwwlknon 27424

This theorem is referenced by:  clwlknon2num  27741  numclwwlk5lem  27772