Theorem clwwlknon2num 28448

Description: In a 𝐾-regular graph 𝐺, there are 𝐾 closed walks on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 25-Feb-2022.) (Proof shortened by AV, 25-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknon2num	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Proof of Theorem clwwlknon2num

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (ClWWalksNOn‘𝐺) = (ClWWalksNOn‘𝐺)
2		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	1, 2, 3	clwwlknon2x 28446	. . . 4 ⊢ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2) = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
6	5	fveq2d 6772	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}))
7		3ancomb 1097	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋))
8	7	rabbii 3405	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))} = {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
9	8	fveq2i 6771	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
10	2	rusgrnumwrdl2 27934	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
11	9, 10	eqtr3id 2793	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘{𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}) = 𝐾)
12	6, 11	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3069  {cpr 4568   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  0cc0 10855  1c1 10856  2c2 12011  ♯chash 14025  Word cword 14198  Vtxcvtx 27347  Edgcedg 27398   RegUSGraph crusgr 27904  ClWWalksNOncclwwlknon 28430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-uz 12565  df-xadd 12831  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-hash 14026  df-word 14199  df-lsw 14247  df-edg 27399  df-uhgr 27409  df-ushgr 27410  df-upgr 27433  df-umgr 27434  df-uspgr 27501  df-usgr 27502  df-nbgr 27681  df-vtxdg 27814  df-rgr 27905  df-rusgr 27906  df-clwwlk 28325  df-clwwlkn 28368  df-clwwlknon 28431

This theorem is referenced by:  clwlknon2num  28711  numclwwlk5lem  28730