Theorem s2elclwwlknon2 30040

Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon2.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon2x.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon2x.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
s2elclwwlknon2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Proof of Theorem s2elclwwlknon2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2cl 14851	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s2len 14862	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2)
5		s2fv0 14860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
7		s2fv1 14861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
9	6, 8	preq12d 4708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} = {𝑋, 𝑌})
10	9	eqcomd 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
11	10	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
12	11	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸)
13	6	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
14	4, 12, 13	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
15		fveqeq2 6870	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2))
16		fveq1 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0))
17		fveq1 6860	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1))
18	16, 17	preq12d 4708	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
19	18	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
20	16	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
21	15, 19, 20	3anbi123d 1438	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
22		clwwlknon2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
23		clwwlknon2x.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
24		clwwlknon2x.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
25	22, 23, 24	clwwlknon2x 30039	. . 3 ⊢ (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
26	21, 25	elrab2 3665	. 2 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2) ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
27	2, 14, 26	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4594  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12248  ♯chash 14302  Word cword 14485  ⟨“cs2 14814  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981  ClWWalksNOncclwwlknon 30023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-clwwlk 29918  df-clwwlkn 29961  df-clwwlknon 30024

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  30282