Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2elclwwlknon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2elclwwlknon2 27988
 Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon2.c 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon2x.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon2x.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
s2elclwwlknon2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Proof of Theorem s2elclwwlknon2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s2cl 14287 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
213adant3 1129 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
3 s2len 14298 . . . 4 (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
43a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2)
5 s2fv0 14296 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
7 s2fv1 14297 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
96, 8preq12d 4634 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} = {𝑋, 𝑌})
109eqcomd 2764 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
1110eleq1d 2836 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
1211biimp3a 1466 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸)
1363adant3 1129 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
144, 12, 133jca 1125 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
15 fveqeq2 6667 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2))
16 fveq1 6657 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0))
17 fveq1 6657 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1))
1816, 17preq12d 4634 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
1918eleq1d 2836 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
2016eqeq1d 2760 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
2115, 19, 203anbi123d 1433 . . 3 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
22 clwwlknon2.c . . . 4 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
23 clwwlknon2x.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
24 clwwlknon2x.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2522, 23, 24clwwlknon2x 27987 . . 3 (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
2621, 25elrab2 3605 . 2 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2) ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
272, 14, 26sylanbrc 586 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cpr 4524  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  0cc0 10575  1c1 10576  2c2 11729  ♯chash 13740  Word cword 13913  ⟨“cs2 14250  Vtxcvtx 26888  Edgcedg 26939  ClWWalksNOncclwwlknon 27971 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-oadd 8116  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-xnn0 12007  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-hash 13741  df-word 13914  df-lsw 13962  df-concat 13970  df-s1 13997  df-s2 14257  df-clwwlk 27866  df-clwwlkn 27909  df-clwwlknon 27972 This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  28230
 Copyright terms: Public domain W3C validator