Theorem s2elclwwlknon2 29826

Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon2.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon2x.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon2x.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
s2elclwwlknon2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Proof of Theorem s2elclwwlknon2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2cl 14826	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s2len 14837	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2)
5		s2fv0 14835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
7		s2fv1 14836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
9	6, 8	preq12d 4737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} = {𝑋, 𝑌})
10	9	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
11	10	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
12	11	biimp3a 1465	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸)
13	6	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
14	4, 12, 13	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
15		fveqeq2 6890	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2))
16		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0))
17		fveq1 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1))
18	16, 17	preq12d 4737	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
19	18	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
20	16	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
21	15, 19, 20	3anbi123d 1432	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
22		clwwlknon2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
23		clwwlknon2x.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
24		clwwlknon2x.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
25	22, 23, 24	clwwlknon2x 29825	. . 3 ⊢ (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
26	21, 25	elrab2 3678	. 2 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2) ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
27	2, 14, 26	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4622  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107  2c2 12264  ♯chash 14287  Word cword 14461  ⟨“cs2 14789  Vtxcvtx 28725  Edgcedg 28776  ClWWalksNOncclwwlknon 29809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-s2 14796  df-clwwlk 29704  df-clwwlkn 29747  df-clwwlknon 29810

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  30068