Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2elclwwlknon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2elclwwlknon2 27523
 Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon2.c 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon2x.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon2x.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
s2elclwwlknon2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Proof of Theorem s2elclwwlknon2
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s2cl 14035 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
213adant3 1123 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
3 s2len 14046 . . . 4 (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
43a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2)
5 s2fv0 14044 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
65adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
7 s2fv1 14045 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
87adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
96, 8preq12d 4508 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} = {𝑋, 𝑌})
109eqcomd 2784 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
1110eleq1d 2844 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
1211biimp3a 1542 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸)
1363adant3 1123 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
144, 12, 133jca 1119 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
15 clwwlknon2.c . . . . 5 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
16 clwwlknon2x.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17 clwwlknon2x.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
1815, 16, 17clwwlknon2x 27522 . . . 4 (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
1918eleq2i 2851 . . 3 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2) ↔ ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)})
20 fveqeq2 6457 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2))
21 fveq1 6447 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0))
22 fveq1 6447 . . . . . . 7 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1))
2321, 22preq12d 4508 . . . . . 6 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
2423eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
2521eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
2620, 24, 253anbi123d 1509 . . . 4 (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
2726elrab 3572 . . 3 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)} ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
2819, 27bitri 267 . 2 (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2) ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
292, 14, 28sylanbrc 578 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  {cpr 4400  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275  2c2 11435  ♯chash 13441  Word cword 13605  ⟨“cs2 13998  Vtxcvtx 26361  Edgcedg 26412  ClWWalksNOncclwwlknon 27506 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-lsw 13659  df-concat 13667  df-s1 13692  df-s2 14005  df-clwwlk 27379  df-clwwlkn 27431  df-clwwlknon 27507 This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  27774
 Copyright terms: Public domain W3C validator