MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2elclwwlknon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2elclwwlknon2 29145
Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlknon2.c 𝐢 = (ClWWalksNOnβ€˜πΊ)
clwwlknon2x.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlknon2x.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
s2elclwwlknon2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ (𝑋𝐢2))

Proof of Theorem s2elclwwlknon2
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 s2cl 14794 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝑉)
213adant3 1132 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝑉)
3 s2len 14805 . . . 4 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©) = 2
43a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©) = 2)
5 s2fv0 14803 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋)
65adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋)
7 s2fv1 14804 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1) = π‘Œ)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1) = π‘Œ)
96, 8preq12d 4722 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} = {𝑋, π‘Œ})
109eqcomd 2737 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {𝑋, π‘Œ} = {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)})
1110eleq1d 2817 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸 ↔ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} ∈ 𝐸))
1211biimp3a 1469 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} ∈ 𝐸)
1363adant3 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋)
144, 12, 133jca 1128 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©) = 2 ∧ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋))
15 fveqeq2 6871 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ ((β™―β€˜π‘€) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©) = 2))
16 fveq1 6861 . . . . . 6 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ (π‘€β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0))
17 fveq1 6861 . . . . . 6 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ (π‘€β€˜1) = (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1))
1816, 17preq12d 4722 . . . . 5 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} = {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)})
1918eleq1d 2817 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ ({(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ 𝐸 ↔ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} ∈ 𝐸))
2016eqeq1d 2733 . . . 4 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ ((π‘€β€˜0) = 𝑋 ↔ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋))
2115, 19, 203anbi123d 1436 . . 3 (𝑀 = βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© β†’ (((β™―β€˜π‘€) = 2 ∧ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋) ↔ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©) = 2 ∧ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋)))
22 clwwlknon2.c . . . 4 𝐢 = (ClWWalksNOnβ€˜πΊ)
23 clwwlknon2x.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
24 clwwlknon2x.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
2522, 23, 24clwwlknon2x 29144 . . 3 (𝑋𝐢2) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ ((β™―β€˜π‘€) = 2 ∧ {(π‘€β€˜0), (π‘€β€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ (π‘€β€˜0) = 𝑋)}
2621, 25elrab2 3666 . 2 (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ (𝑋𝐢2) ↔ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©) = 2 ∧ {(βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0), (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ (βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ©β€˜0) = 𝑋)))
272, 14, 26sylanbrc 583 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, π‘Œ} ∈ 𝐸) β†’ βŸ¨β€œπ‘‹π‘Œβ€βŸ© ∈ (𝑋𝐢2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cpr 4608  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12232  β™―chash 14255  Word cword 14429  βŸ¨β€œcs2 14757  Vtxcvtx 28044  Edgcedg 28095  ClWWalksNOncclwwlknon 29128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-lsw 14478  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-clwwlk 29023  df-clwwlkn 29066  df-clwwlknon 29129
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  29387
  Copyright terms: Public domain W3C validator