Theorem s2elclwwlknon2 27889

Description: Sufficient conditions of a doubleton word to represent a closed walk on vertex 𝑋 of length 2. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlknon2.c	⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
clwwlknon2x.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlknon2x.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
s2elclwwlknon2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Proof of Theorem s2elclwwlknon2

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s2cl 14231	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
2	1	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
3		s2len 14242	. . . 4 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2)
5		s2fv0 14240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
6	5	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
7		s2fv1 14241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
8	7	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
9	6, 8	preq12d 4637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} = {𝑋, 𝑌})
10	9	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
11	10	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
12	11	biimp3a 1466	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸)
13	6	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
14	4, 12, 13	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
15		fveqeq2 6654	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ (♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2))
16		fveq1 6644	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0))
17		fveq1 6644	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (𝑤‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1))
18	16, 17	preq12d 4637	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} = {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)})
19	18	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸))
20	16	eqeq1d 2800	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋))
21	15, 19, 20	3anbi123d 1433	. . 3 ⊢ (𝑤 = ⟨“𝑋𝑌”⟩ → (((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋) ↔ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
22		clwwlknon2.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (ClWWalksNOn‘𝐺)
23		clwwlknon2x.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
24		clwwlknon2x.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
25	22, 23, 24	clwwlknon2x 27888	. . 3 ⊢ (𝑋𝐶2) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (𝑤‘0) = 𝑋)}
26	21, 25	elrab2 3631	. 2 ⊢ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2) ↔ (⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘⟨“𝑋𝑌”⟩) = 2 ∧ {(⟨“𝑋𝑌”⟩‘0), (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)} ∈ 𝐸 ∧ (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)))
27	2, 14, 26	sylanbrc 586	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸) → ⟨“𝑋𝑌”⟩ ∈ (𝑋𝐶2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cpr 4527  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  2c2 11680  ♯chash 13686  Word cword 13857  ⟨“cs2 14194  Vtxcvtx 26789  Edgcedg 26840  ClWWalksNOncclwwlknon 27872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-clwwlk 27767  df-clwwlkn 27810  df-clwwlknon 27873

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  28131