Theorem coprmdvds1 15771

Description: If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds1	⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))

Proof of Theorem coprmdvds1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprmgcdb 15768	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐹 gcd 𝐺) = 1))
2		breq1 4889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
3		breq1 4889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐺 ↔ 𝐼 ∥ 𝐺))
4	2, 3	anbi12d 624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) ↔ (𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))
5		eqeq1 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = 1 ↔ 𝐼 = 1))
6	4, 5	imbi12d 336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
7	6	rspcv 3507	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
8	7	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)))
9	8	3impib 1105	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1))
10	9	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))
11	1, 10	syl6bir 246	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → ((𝐹 gcd 𝐺) = 1 → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
12	11	3impia 1106	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  1c1 10273  ℕcn 11374   ∥ cdvds 15387   gcd cgcd 15622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-gcd 15623

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  42518