MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds1 15986
Description: If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds1 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1))

Proof of Theorem coprmdvds1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coprmgcdb 15983 . . 3 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐹 gcd 𝐺) = 1))
2 breq1 5066 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝐹𝐼𝐹))
3 breq1 5066 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝐺𝐼𝐺))
42, 3anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝐹𝑖𝐺) ↔ (𝐼𝐹𝐼𝐺)))
5 eqeq1 2830 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = 1 ↔ 𝐼 = 1))
64, 5imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ ((𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1)))
76rspcv 3622 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1)))
87com23 86 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼𝐹𝐼𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)))
983impib 1110 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1))
109com12 32 . . 3 (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1))
111, 10syl6bir 255 . 2 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → ((𝐹 gcd 𝐺) = 1 → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1)))
12113impia 1111 1 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  1c1 10527  cn 11627  cdvds 15597   gcd cgcd 15833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-gcd 15834
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  43579
  Copyright terms: Public domain W3C validator