MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds1 16596
Description: If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds1 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1))

Proof of Theorem coprmdvds1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coprmgcdb 16593 . . 3 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐹 gcd 𝐺) = 1))
2 breq1 5144 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝐹𝐼𝐹))
3 breq1 5144 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖𝐺𝐼𝐺))
42, 3anbi12d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖𝐹𝑖𝐺) ↔ (𝐼𝐹𝐼𝐺)))
5 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = 1 ↔ 𝐼 = 1))
64, 5imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ ((𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1)))
76rspcv 3602 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1)))
87com23 86 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼𝐹𝐼𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)))
983impib 1113 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1))
109com12 32 . . 3 (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖𝐹𝑖𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1))
111, 10syl6bir 254 . 2 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → ((𝐹 gcd 𝐺) = 1 → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1)))
12113impia 1114 1 ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺) → 𝐼 = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  1c1 11113  cn 12216  cdvds 16204   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1lem2  46830
  Copyright terms: Public domain W3C validator