Theorem coprmdvds1 16716

Description: If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds1	⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))

Proof of Theorem coprmdvds1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprmgcdb 16713	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐹 gcd 𝐺) = 1))
2		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐹 ↔ 𝐼 ∥ 𝐹))
3		breq1 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 ∥ 𝐺 ↔ 𝐼 ∥ 𝐺))
4	2, 3	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) ↔ (𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺)))
5		eqeq1 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = 1 ↔ 𝐼 = 1))
6	4, 5	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) ↔ ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
7	6	rspcv 3576	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
8	7	com23 87	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1)))
9	8	3impib 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → 𝐼 = 1))
10	9	com12 33	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐹 ∧ 𝑖 ∥ 𝐺) → 𝑖 = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))
11	1, 10	biimtrrdi 257	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ) → ((𝐹 gcd 𝐺) = 1 → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1)))
12	11	3impia 1134	1 ⊢ ((𝐹 ∈ ℕ ∧ 𝐺 ∈ ℕ ∧ (𝐹 gcd 𝐺) = 1) → ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∥ 𝐹 ∧ 𝐼 ∥ 𝐺) → 𝐼 = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  1c1 11107  ℕcn 12239   ∥ cdvds 16316   gcd cgcd 16558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559

This theorem is used by:  prmdvdsfmtnof1lem2  48365