Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem2 46553
Description: Lemma 2 for prmdvdsfmtnof1 46555. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem2 ((๐น โˆˆ ran FermatNo โˆง ๐บ โˆˆ ran FermatNo) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem2
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmtnorn 46502 . 2 (๐น โˆˆ ran FermatNo โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)
2 fmtnorn 46502 . 2 (๐บ โˆˆ ran FermatNo โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ)
3 2a1 28 . . . . . . . 8 (๐น = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))
432a1d 26 . . . . . . 7 (๐น = ๐บ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))))
5 fmtnonn 46499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
65ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
76adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
8 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†” ๐น โˆˆ โ„•))
98ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†” ๐น โˆˆ โ„•))
107, 9mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ๐น โˆˆ โ„•)
11 fmtnonn 46499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
1211ad2antll 725 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
1312adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
14 eleq1 2819 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„• โ†” ๐บ โˆˆ โ„•))
1514ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„• โ†” ๐บ โˆˆ โ„•))
1613, 15mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„•)
17 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
18 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
19 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š))
2019con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ยฌ ๐‘› = ๐‘š)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ยฌ ๐‘› = ๐‘š)
2221neqned 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘› โ‰  ๐‘š)
23 goldbachth 46515 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โ‰  ๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1)
2417, 18, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1)
2524ex 411 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1))
26 eqeq12 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†” ๐น = ๐บ))
2726notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ (ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†” ยฌ ๐น = ๐บ))
28 oveq12 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = (๐น gcd ๐บ))
2928eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1 โ†” (๐น gcd ๐บ) = 1))
3027, 29imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1) โ†” (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3130ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ ((ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1) โ†” (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3225, 31syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3332com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3433impcom 406 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1))
3534imp 405 . . . . . . . . 9 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)
36 prmnn 16617 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
37 coprmdvds1 16595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐ผ = 1))
3837imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ ๐ผ = 1)
3936, 38syl3anr1 1414 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ ๐ผ = 1)
40 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ = 1 โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†” 1 โˆˆ โ„™))
41 1nprm 16622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยฌ 1 โˆˆ โ„™
4241pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„™ โ†’ ๐น = ๐บ)
4340, 42syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ = 1 โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐น = ๐บ))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ)))
46453ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ)))
4746impcom 406 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ))
4839, 47mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ ๐น = ๐บ)
4948ex 411 . . . . . . . . 9 ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
5010, 16, 35, 49syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
5150exp43 435 . . . . . . 7 (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))))
524, 51pm2.61i 182 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))))
5352rexlimdva 3153 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))))
5453com23 86 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))))
5554rexlimiv 3146 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))
5655imp 405 . 2 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
571, 2, 56syl2anb 596 1 ((๐น โˆˆ ran FermatNo โˆง ๐บ โˆˆ ran FermatNo) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5149  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  1c1 11115  โ„•cn 12218  โ„•0cn0 12478   โˆฅ cdvds 16203   gcd cgcd 16441  โ„™cprime 16614  FermatNocfmtno 46495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16204  df-gcd 16442  df-prm 16615  df-fmtno 46496
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  46555
  Copyright terms: Public domain W3C validator