Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem2 45851
Description: Lemma 2 for prmdvdsfmtnof1 45853. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem2 ((๐น โˆˆ ran FermatNo โˆง ๐บ โˆˆ ran FermatNo) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem2
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmtnorn 45800 . 2 (๐น โˆˆ ran FermatNo โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)
2 fmtnorn 45800 . 2 (๐บ โˆˆ ran FermatNo โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ)
3 2a1 28 . . . . . . . 8 (๐น = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))
432a1d 26 . . . . . . 7 (๐น = ๐บ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))))
5 fmtnonn 45797 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
65ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„•)
8 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†” ๐น โˆˆ โ„•))
98ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„• โ†” ๐น โˆˆ โ„•))
107, 9mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ๐น โˆˆ โ„•)
11 fmtnonn 45797 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
1211ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
1312adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„•)
14 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„• โ†” ๐บ โˆˆ โ„•))
1514ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„• โ†” ๐บ โˆˆ โ„•))
1613, 15mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ๐บ โˆˆ โ„•)
17 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
19 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š))
2019con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ยฌ ๐‘› = ๐‘š)
2120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ยฌ ๐‘› = ๐‘š)
2221neqned 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘› โ‰  ๐‘š)
23 goldbachth 45813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โ‰  ๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1)
2417, 18, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š)) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1)
2524ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1))
26 eqeq12 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†” ๐น = ๐บ))
2726notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ (ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†” ยฌ ๐น = ๐บ))
28 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = (๐น gcd ๐บ))
2928eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1 โ†” (๐น gcd ๐บ) = 1))
3027, 29imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1) โ†” (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3130ancoms 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ ((ยฌ (FermatNoโ€˜๐‘›) = (FermatNoโ€˜๐‘š) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) gcd (FermatNoโ€˜๐‘š)) = 1) โ†” (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3225, 31syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3332com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)))
3433impcom 409 . . . . . . . . . 10 ((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โ†’ (((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น) โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1))
3534imp 408 . . . . . . . . 9 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ (๐น gcd ๐บ) = 1)
36 prmnn 16557 . . . . . . . . . . . 12 (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„•)
37 coprmdvds1 16535 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐ผ = 1))
3837imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ ๐ผ = 1)
3936, 38syl3anr1 1417 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ ๐ผ = 1)
40 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ผ = 1 โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†” 1 โˆˆ โ„™))
41 1nprm 16562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ยฌ 1 โˆˆ โ„™
4241pm2.21i 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 โˆˆ โ„™ โ†’ ๐น = ๐บ)
4340, 42syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ผ = 1 โ†’ (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐น = ๐บ))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ))
4544a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ผ โˆˆ โ„™ โ†’ ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ)))
46453ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ)))
4746impcom 409 . . . . . . . . . . 11 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ (๐ผ = 1 โ†’ ๐น = ๐บ))
4839, 47mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โˆง (๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ)) โ†’ ๐น = ๐บ)
4948ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
5010, 16, 35, 49syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((ยฌ ๐น = ๐บ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0)) โˆง ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โˆง (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น)) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
5150exp43 438 . . . . . . 7 (ยฌ ๐น = ๐บ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))))
524, 51pm2.61i 182 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))))
5352rexlimdva 3153 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))))
5453com23 86 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))))
5554rexlimiv 3146 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ)))
5655imp 408 . 2 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘›) = ๐น โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„•0 (FermatNoโ€˜๐‘š) = ๐บ) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
571, 2, 56syl2anb 599 1 ((๐น โˆˆ ran FermatNo โˆง ๐บ โˆˆ ran FermatNo) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐น = ๐บ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  ran crn 5639  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  1c1 11059  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-fmtno 45794
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  45853
  Copyright terms: Public domain W3C validator