Theorem coprmgcdb 16683

Description: Two positive integers are coprime, i.e. the only positive integer that divides both of them is 1, iff their greatest common divisor is 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coprmgcdb	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem coprmgcdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12632	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12632	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gcddvds 16537	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6		gcdnncl 16541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
8		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴))
9		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)))
11		eqeq1 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13	12	rspcv 3618	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
15	5, 14	mpid 44	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
16	4, 15	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
17		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
18	17	anim1ci 616	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
19		3anass 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
21		nndvdslegcd 16539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
23		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
25		nnge1 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑖)
26		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
27		1red 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28	26, 27	letri3d 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖) → 𝑖 = 1))
30	25, 29	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
32	24, 31	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
33	32	adantll 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
34	22, 33	syld 47	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
35	34	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
36	35	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
37	16, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  1c1 11154   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℤcz 12611   ∥ cdvds 16287   gcd cgcd 16528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdne1b  16684  coprmdvds1  16686  fltaccoprm  42627  fltabcoprm  42629  flt4lem5  42637