Theorem coprmgcdb 16743

Description: Two positive integers are coprime, i.e. the only positive integer that divides both of them is 1, iff their greatest common divisor is 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coprmgcdb	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem coprmgcdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12639	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12639	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gcddvds 16597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6		gcdnncl 16601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
8		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴))
9		breq1 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)))
11		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
12	10, 11	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13	12	rspcv 3575	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
14	7, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
15	5, 14	mpid 45	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
16	4, 15	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
17		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
18	17	anim1ci 628	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
19		3anass 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
20	18, 19	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
21		nndvdslegcd 16599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
23		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
24	23	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
25		nnge1 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑖)
26		nnre 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
27		1red 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28	26, 27	letri3d 11379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
29	28	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖) → 𝑖 = 1))
30	25, 29	mpan2d 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
32	24, 31	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
33	32	adantll 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
34	22, 33	syld 48	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
35	34	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
36	35	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
37	16, 36	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  1c1 11128   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  ℤcz 12618   ∥ cdvds 16346   gcd cgcd 16588

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589

This theorem is used by:  ncoprmgcdne1b  16744  coprmdvds1  16746  fltaccoprm  43473  fltabcoprm  43475  flt4lem5  43483