Theorem coprmgcdb 16686

Description: Two positive integers are coprime, i.e. the only positive integer that divides both of them is 1, iff their greatest common divisor is 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coprmgcdb	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖

Proof of Theorem coprmgcdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nnz 12634	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
3		gcddvds 16540	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
6		gcdnncl 16544	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
8		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐴 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴))
9		breq1 5146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)))
11		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
12	10, 11	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐴 gcd 𝐵) → (((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
13	12	rspcv 3618	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
14	7, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1)))
15	5, 14	mpid 44	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
16	4, 15	mpdan 687	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) → (𝐴 gcd 𝐵) = 1))
17		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
18	17	anim1ci 616	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
19		3anass 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ)))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ))
21		nndvdslegcd 16542	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵)))
23		breq2 5147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) ↔ 𝑖 ≤ 1))
25		nnge1 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑖)
26		nnre 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℝ)
27		1red 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
28	26, 27	letri3d 11403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 = 1 ↔ (𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖)))
29	28	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝑖 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑖) → 𝑖 = 1))
30	25, 29	mpan2d 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ 1 → 𝑖 = 1))
32	24, 31	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
33	32	adantll 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 ≤ (𝐴 gcd 𝐵) → 𝑖 = 1))
34	22, 33	syld 47	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
35	34	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 gcd 𝐵) = 1) → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1))
36	35	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = 1 → ∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1)))
37	16, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ ℕ ((𝑖 ∥ 𝐴 ∧ 𝑖 ∥ 𝐵) → 𝑖 = 1) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  1c1 11156   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℤcz 12613   ∥ cdvds 16290   gcd cgcd 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  ncoprmgcdne1b  16687  coprmdvds1  16689  fltaccoprm  42650  fltabcoprm  42652  flt4lem5  42660