Theorem cusgr3vnbpr 28961

Description: The neighbors of a vertex in a simple graph with three elements are unordered pairs of the other vertices if and only if the graph is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgr3v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cplgr3v.t	⊢ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
cplgr3v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3vnbpr	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦})(𝐺 NeighbVtx 𝑥) = {𝑦, 𝑧}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑧)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cusgr3vnbpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 28710	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		cplgr3v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		cplgr3v.t	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
4	2, 3	cplgr3v 28960	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)))
5	1, 4	syl3an2 1163	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)))
6		cplgr3v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		simp2 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph)
8	6, 3	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
10		simp1 1135	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
11		simp3 1137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	6, 2, 7, 9, 10, 11	nb3grpr 28907	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦})(𝐺 NeighbVtx 𝑥) = {𝑦, 𝑧}))
13	5, 12	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦})(𝐺 NeighbVtx 𝑥) = {𝑦, 𝑧}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3945  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Vtxcvtx 28524  Edgcedg 28575  UPGraphcupgr 28608  USGraphcusgr 28677   NeighbVtx cnbgr 28857  ComplGraphccplgr 28934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28576  df-upgr 28610  df-umgr 28611  df-uspgr 28678  df-usgr 28679  df-nbgr 28858  df-uvtx 28911  df-cplgr 28936

This theorem is referenced by: (None)