Theorem cusgr3vnbpr 29416

Description: The neighbors of a vertex in a simple graph with three elements are unordered pairs of the other vertices if and only if the graph is complete. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Oct-2017.) (Revised by AV, 5-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cplgr3v.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cplgr3v.t	⊢ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
cplgr3v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr3vnbpr	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦})(𝐺 NeighbVtx 𝑥) = {𝑦, 𝑧}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝑉,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑧)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cusgr3vnbpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 29165	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		cplgr3v.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		cplgr3v.t	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
4	2, 3	cplgr3v 29415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)))
5	1, 4	syl3an2 1164	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)))
6		cplgr3v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝐺 ∈ USGraph)
8	6, 3	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → 𝑉 = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
10		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍))
11		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
12	6, 2, 7, 9, 10, 11	nb3grpr 29362	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦})(𝐺 NeighbVtx 𝑥) = {𝑦, 𝑧}))
13	5, 12	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍) ∧ 𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐺 ∈ ComplGraph ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 ∃𝑧 ∈ (𝑉 ∖ {𝑦})(𝐺 NeighbVtx 𝑥) = {𝑦, 𝑧}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∖ cdif 3895  {csn 4575  {cpr 4577  {ctp 4579  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Vtxcvtx 28976  Edgcedg 29027  UPGraphcupgr 29060  USGraphcusgr 29129   NeighbVtx cnbgr 29312  ComplGraphccplgr 29389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-edg 29028  df-upgr 29062  df-umgr 29063  df-uspgr 29130  df-usgr 29131  df-nbgr 29313  df-uvtx 29366  df-cplgr 29391

This theorem is referenced by: (None)