MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsum 26023
Description: Asymptotic analysis of Σ𝑛𝑥, log𝑛 / 𝑛 = (log𝑥)↑2 / 2 + 𝐿 + 𝑂(log𝑥 / 𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
logdivsum (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ ((log‘𝐴) / 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑖,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑖)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem logdivsum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 12804 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2835 . . 3 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 12270 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 12002 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 ere 15432 . . . 4 e ∈ ℝ
65a1i 11 . . 3 (⊤ → e ∈ ℝ)
7 0re 10632 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
8 epos 15550 . . . . . 6 0 < e
97, 5, 8ltleii 10752 . . . . 5 0 ≤ e
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → 0 ≤ e)
11 1re 10630 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 addge02 11140 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (0 ≤ e ↔ 1 ≤ (e + 1)))
1311, 5, 12mp2an 688 . . . 4 (0 ≤ e ↔ 1 ≤ (e + 1))
1410, 13sylib 219 . . 3 (⊤ → 1 ≤ (e + 1))
157a1i 11 . . 3 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
16 relogcl 25072 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
1716adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℝ)
1817resqcld 13601 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦)↑2) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 11873 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑦)↑2) / 2) ∈ ℝ)
20 rerpdivcl 12409 . . . . 5 (((log‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2116, 20mpancom 684 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2221adantl 482 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
23 nnrp 12390 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ+)
2423, 22sylan2 592 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((log‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
25 reelprrecn 10618 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2625a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
27 cnelprrecn 10619 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2827a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
2917recnd 10658 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
30 ovexd 7183 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ V)
31 sqcl 13474 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
3231adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
3332halfcld 11871 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) / 2) ∈ ℂ)
34 simpr 485 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
35 dvrelog 25133 . . . . . 6 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
36 relogf1o 25063 . . . . . . . . . 10 (log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ
37 f1of 6612 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ ℝ+):ℝ+1-1-onto→ℝ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3836, 37mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → (log ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
3938feqmptd 6730 . . . . . . . 8 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)))
40 fvres 6686 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log ↾ ℝ+)‘𝑦) = (log‘𝑦))
4140mpteq2ia 5154 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log ↾ ℝ+)‘𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))
4239, 41syl6eq 2877 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦)))
4342oveq2d 7164 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))))
4435, 43syl5reqr 2876 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
45 ovexd 7183 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ V)
46 2nn 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
47 dvexp 24465 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
4846, 47mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
49 2m1e1 11752 . . . . . . . . . . . 12 (2 − 1) = 1
5049oveq2i 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
51 exp1 13425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑1) = 𝑥)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑1) = 𝑥)
5350, 52syl5eq 2873 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
5453oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
5554mpteq2dva 5158 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)))
5648, 55eqtrd 2861 . . . . . . 7 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑥)))
57 2cnd 11704 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
58 2ne0 11730 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ≠ 0)
6028, 32, 45, 56, 57, 59dvmptdivc 24477 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) / 2)))
61 2cn 11701 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
62 divcan3 11313 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
6361, 58, 62mp3an23 1446 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
6463adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
6564mpteq2dva 5158 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((2 · 𝑥) / 2)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
6660, 65eqtrd 2861 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥))
67 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝑥 = (log‘𝑦) → (𝑥↑2) = ((log‘𝑦)↑2))
6867oveq1d 7163 . . . . 5 (𝑥 = (log‘𝑦) → ((𝑥↑2) / 2) = (((log‘𝑦)↑2) / 2))
69 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (log‘𝑦) → 𝑥 = (log‘𝑦))
7026, 28, 29, 30, 33, 34, 44, 66, 68, 69dvmptco 24484 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) · (1 / 𝑦))))
71 rpcn 12389 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
7271adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
73 rpne0 12395 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
7473adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ≠ 0)
7529, 72, 74divrecd 11408 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑦) / 𝑦) = ((log‘𝑦) · (1 / 𝑦)))
7675mpteq2dva 5158 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) · (1 / 𝑦))))
7770, 76eqtr4d 2864 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦)))
78 fveq2 6667 . . . 4 (𝑦 = 𝑖 → (log‘𝑦) = (log‘𝑖))
79 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑖𝑦 = 𝑖)
8078, 79oveq12d 7166 . . 3 (𝑦 = 𝑖 → ((log‘𝑦) / 𝑦) = ((log‘𝑖) / 𝑖))
81 simp3r 1196 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑦𝑖)
82 simp2l 1193 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
8382rpred 12421 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑦 ∈ ℝ)
84 simp3l 1195 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → e ≤ 𝑦)
85 simp2r 1194 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑖 ∈ ℝ+)
8685rpred 12421 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → 𝑖 ∈ ℝ)
875a1i 11 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → e ∈ ℝ)
8887, 83, 86, 84, 81letrd 10786 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → e ≤ 𝑖)
89 logdivle 25118 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑦) ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑖)) → (𝑦𝑖 ↔ ((log‘𝑖) / 𝑖) ≤ ((log‘𝑦) / 𝑦)))
9083, 84, 86, 88, 89syl22anc 836 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → (𝑦𝑖 ↔ ((log‘𝑖) / 𝑖) ≤ ((log‘𝑦) / 𝑦)))
9181, 90mpbid 233 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≤ 𝑦𝑦𝑖)) → ((log‘𝑖) / 𝑖) ≤ ((log‘𝑦) / 𝑦))
92 logdivsum.1 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑦))((log‘𝑖) / 𝑖) − (((log‘𝑦)↑2) / 2)))
9371cxp1d 25202 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦𝑐1) = 𝑦)
9493oveq2d 7164 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1)) = ((log‘𝑦) / 𝑦))
9594mpteq2ia 5154 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦))
96 1rp 12383 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
97 cxploglim 25469 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1))) ⇝𝑟 0)
9896, 97mp1i 13 . . . 4 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / (𝑦𝑐1))) ⇝𝑟 0)
9995, 98eqbrtrrid 5099 . . 3 (⊤ → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑦) / 𝑦)) ⇝𝑟 0)
100 fveq2 6667 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (log‘𝑦) = (log‘𝐴))
101 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
102100, 101oveq12d 7166 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((log‘𝑦) / 𝑦) = ((log‘𝐴) / 𝐴))
1032, 3, 4, 6, 14, 15, 19, 22, 24, 77, 80, 91, 92, 99, 102dvfsumrlim3 24545 . 2 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ ((log‘𝐴) / 𝐴))))
104103mptru 1537 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ ((log‘𝐴) / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wtru 1531  wcel 2107  wne 3021  Vcvv 3500  {cpr 4566   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  cres 5556  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  +crp 12379  (,)cioo 12728  ...cfz 12882  cfl 13150  cexp 13419  abscabs 14583  𝑟 crli 14832  Σcsu 15032  eceu 15406   D cdv 24376  logclog 25051  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-e 15412  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-cmp 21911  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem1  26024  mulog2sum  26027  vmalogdivsum2  26028
  Copyright terms: Public domain W3C validator