MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsum 27036
Description: Asymptotic analysis of Σ𝑛 ≀ π‘₯, log𝑛 / 𝑛 = (logπ‘₯)↑2 / 2 + 𝐿 + 𝑂(logπ‘₯ / π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
logdivsum (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((logβ€˜π΄) / 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑖,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑖)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem logdivsum
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13402 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2742 . . 3 ℝ+ = (0(,)+∞)
3 nnuz 12865 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4 1zzd 12593 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
5 ere 16032 . . . 4 e ∈ ℝ
65a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ e ∈ ℝ)
7 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
8 epos 16150 . . . . . 6 0 < e
97, 5, 8ltleii 11337 . . . . 5 0 ≀ e
109a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 0 ≀ e)
11 1re 11214 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 addge02 11725 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ e ↔ 1 ≀ (e + 1)))
1311, 5, 12mp2an 691 . . . 4 (0 ≀ e ↔ 1 ≀ (e + 1))
1410, 13sylib 217 . . 3 (⊀ β†’ 1 ≀ (e + 1))
157a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 0 ∈ ℝ)
16 relogcl 26084 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1716adantl 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1817resqcld 14090 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦)↑2) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 12459 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2) ∈ ℝ)
20 rerpdivcl 13004 . . . . 5 (((logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2116, 20mpancom 687 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2221adantl 483 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
23 nnrp 12985 . . . 4 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2423, 22sylan2 594 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
25 reelprrecn 11202 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
27 cnelprrecn 11203 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2827a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
2917recnd 11242 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
30 ovexd 7444 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ V)
31 sqcl 14083 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑2) ∈ β„‚)
3231adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑2) ∈ β„‚)
3332halfcld 12457 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯↑2) / 2) ∈ β„‚)
34 simpr 486 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
35 relogf1o 26075 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
36 f1of 6834 . . . . . . . . . 10 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
3837feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)))
39 fvres 6911 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘¦))
4039mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))
4138, 40eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦)))
4241oveq2d 7425 . . . . . 6 (⊀ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))))
43 dvrelog 26145 . . . . . 6 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
4442, 43eqtr3di 2788 . . . . 5 (⊀ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
45 ovexd 7444 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ V)
46 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
47 dvexp 25470 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„• β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)))))
4846, 47mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)))))
49 2m1e1 12338 . . . . . . . . . . . 12 (2 βˆ’ 1) = 1
5049oveq2i 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)) = (π‘₯↑1)
51 exp1 14033 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑1) = π‘₯)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑1) = π‘₯)
5350, 52eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)) = π‘₯)
5453oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1))) = (2 Β· π‘₯))
5554mpteq2dva 5249 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· π‘₯)))
5648, 55eqtrd 2773 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· π‘₯)))
57 2cnd 12290 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
58 2ne0 12316 . . . . . . . 8 2 β‰  0
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
6028, 32, 45, 56, 57, 59dvmptdivc 25482 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π‘₯↑2) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· π‘₯) / 2)))
61 2cn 12287 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
62 divcan3 11898 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· π‘₯) / 2) = π‘₯)
6361, 58, 62mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· π‘₯) / 2) = π‘₯)
6463adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· π‘₯) / 2) = π‘₯)
6564mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· π‘₯) / 2)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯))
6660, 65eqtrd 2773 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π‘₯↑2) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯))
67 oveq1 7416 . . . . . 6 (π‘₯ = (logβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯↑2) = ((logβ€˜π‘¦)↑2))
6867oveq1d 7424 . . . . 5 (π‘₯ = (logβ€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯↑2) / 2) = (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2))
69 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (logβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (logβ€˜π‘¦))
7026, 28, 29, 30, 33, 34, 44, 66, 68, 69dvmptco 25489 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) Β· (1 / 𝑦))))
71 rpcn 12984 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7271adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
73 rpne0 12990 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 β‰  0)
7473adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 β‰  0)
7529, 72, 74divrecd 11993 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π‘¦) Β· (1 / 𝑦)))
7675mpteq2dva 5249 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) Β· (1 / 𝑦))))
7770, 76eqtr4d 2776 . . 3 (⊀ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
78 fveq2 6892 . . . 4 (𝑦 = 𝑖 β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘–))
79 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑖 β†’ 𝑦 = 𝑖)
8078, 79oveq12d 7427 . . 3 (𝑦 = 𝑖 β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π‘–) / 𝑖))
81 simp3r 1203 . . . 4 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑦 ≀ 𝑖)
82 simp2l 1200 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
8382rpred 13016 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
84 simp3l 1202 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ e ≀ 𝑦)
85 simp2r 1201 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ+)
8685rpred 13016 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
875a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ e ∈ ℝ)
8887, 83, 86, 84, 81letrd 11371 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ e ≀ 𝑖)
89 logdivle 26130 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑦) ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑖)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑖 ↔ ((logβ€˜π‘–) / 𝑖) ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
9083, 84, 86, 88, 89syl22anc 838 . . . 4 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑖 ↔ ((logβ€˜π‘–) / 𝑖) ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
9181, 90mpbid 231 . . 3 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ ((logβ€˜π‘–) / 𝑖) ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))
92 logdivsum.1 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
9371cxp1d 26214 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦↑𝑐1) = 𝑦)
9493oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1)) = ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))
9594mpteq2ia 5252 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))
96 1rp 12978 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
97 cxploglim 26482 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1))) β‡π‘Ÿ 0)
9896, 97mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1))) β‡π‘Ÿ 0)
9995, 98eqbrtrrid 5185 . . 3 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) β‡π‘Ÿ 0)
100 fveq2 6892 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜π΄))
101 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ 𝑦 = 𝐴)
102100, 101oveq12d 7427 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π΄) / 𝐴))
1032, 3, 4, 6, 14, 15, 19, 22, 24, 77, 80, 91, 92, 99, 102dvfsumrlim3 25550 . 2 (⊀ β†’ (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((logβ€˜π΄) / 𝐴))))
104103mptru 1549 1 (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((logβ€˜π΄) / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  βŒŠcfl 13755  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   β‡π‘Ÿ crli 15429  Ξ£csu 15632  eceu 16006   D cdv 25380  logclog 26063  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem1  27037  mulog2sum  27040  vmalogdivsum2  27041
  Copyright terms: Public domain W3C validator