MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivsum 27272
Description: Asymptotic analysis of Σ𝑛 ≀ π‘₯, log𝑛 / 𝑛 = (logπ‘₯)↑2 / 2 + 𝐿 + 𝑂(logπ‘₯ / π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
Assertion
Ref Expression
logdivsum (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((logβ€˜π΄) / 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑖,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑖)   𝐿(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem logdivsum
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorp 13406 . . . 4 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2739 . . 3 ℝ+ = (0(,)+∞)
3 nnuz 12869 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4 1zzd 12597 . . 3 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
5 ere 16036 . . . 4 e ∈ ℝ
65a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ e ∈ ℝ)
7 0re 11220 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
8 epos 16154 . . . . . 6 0 < e
97, 5, 8ltleii 11341 . . . . 5 0 ≀ e
109a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 0 ≀ e)
11 1re 11218 . . . . 5 1 ∈ ℝ
12 addge02 11729 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ e ↔ 1 ≀ (e + 1)))
1311, 5, 12mp2an 688 . . . 4 (0 ≀ e ↔ 1 ≀ (e + 1))
1410, 13sylib 217 . . 3 (⊀ β†’ 1 ≀ (e + 1))
157a1i 11 . . 3 (⊀ β†’ 0 ∈ ℝ)
16 relogcl 26320 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1716adantl 480 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
1817resqcld 14094 . . . 4 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦)↑2) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 12463 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2) ∈ ℝ)
20 rerpdivcl 13008 . . . . 5 (((logβ€˜π‘¦) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2116, 20mpancom 684 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
2221adantl 480 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
23 nnrp 12989 . . . 4 (𝑦 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
2423, 22sylan2 591 . . 3 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) ∈ ℝ)
25 reelprrecn 11204 . . . . . 6 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2625a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
27 cnelprrecn 11205 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
2827a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
2917recnd 11246 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
30 ovexd 7446 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑦) ∈ V)
31 sqcl 14087 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑2) ∈ β„‚)
3231adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑2) ∈ β„‚)
3332halfcld 12461 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯↑2) / 2) ∈ β„‚)
34 simpr 483 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
35 relogf1o 26311 . . . . . . . . . 10 (log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ
36 f1of 6832 . . . . . . . . . 10 ((log β†Ύ ℝ+):ℝ+–1-1-onto→ℝ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+):ℝ+βŸΆβ„)
3837feqmptd 6959 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)))
39 fvres 6909 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘¦))
4039mpteq2ia 5250 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((log β†Ύ ℝ+)β€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))
4138, 40eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (log β†Ύ ℝ+) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦)))
4241oveq2d 7427 . . . . . 6 (⊀ β†’ (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))))
43 dvrelog 26381 . . . . . 6 (ℝ D (log β†Ύ ℝ+)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦))
4442, 43eqtr3di 2785 . . . . 5 (⊀ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑦)))
45 ovexd 7446 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ V)
46 2nn 12289 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
47 dvexp 25705 . . . . . . . . 9 (2 ∈ β„• β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)))))
4846, 47mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)))))
49 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . . 12 (2 βˆ’ 1) = 1
5049oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)) = (π‘₯↑1)
51 exp1 14037 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯↑1) = π‘₯)
5251adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑1) = π‘₯)
5350, 52eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)) = π‘₯)
5453oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1))) = (2 Β· π‘₯))
5554mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· (π‘₯↑(2 βˆ’ 1)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· π‘₯)))
5648, 55eqtrd 2770 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘₯↑2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (2 Β· π‘₯)))
57 2cnd 12294 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
58 2ne0 12320 . . . . . . . 8 2 β‰  0
5958a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 β‰  0)
6028, 32, 45, 56, 57, 59dvmptdivc 25717 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π‘₯↑2) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· π‘₯) / 2)))
61 2cn 12291 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„‚
62 divcan3 11902 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ ((2 Β· π‘₯) / 2) = π‘₯)
6361, 58, 62mp3an23 1451 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· π‘₯) / 2) = π‘₯)
6463adantl 480 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· π‘₯) / 2) = π‘₯)
6564mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((2 Β· π‘₯) / 2)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯))
6660, 65eqtrd 2770 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((π‘₯↑2) / 2))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯))
67 oveq1 7418 . . . . . 6 (π‘₯ = (logβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯↑2) = ((logβ€˜π‘¦)↑2))
6867oveq1d 7426 . . . . 5 (π‘₯ = (logβ€˜π‘¦) β†’ ((π‘₯↑2) / 2) = (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2))
69 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (logβ€˜π‘¦) β†’ π‘₯ = (logβ€˜π‘¦))
7026, 28, 29, 30, 33, 34, 44, 66, 68, 69dvmptco 25724 . . . 4 (⊀ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) Β· (1 / 𝑦))))
71 rpcn 12988 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7271adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
73 rpne0 12994 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 β‰  0)
7473adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 β‰  0)
7529, 72, 74divrecd 11997 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π‘¦) Β· (1 / 𝑦)))
7675mpteq2dva 5247 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) Β· (1 / 𝑦))))
7770, 76eqtr4d 2773 . . 3 (⊀ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
78 fveq2 6890 . . . 4 (𝑦 = 𝑖 β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜π‘–))
79 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝑖 β†’ 𝑦 = 𝑖)
8078, 79oveq12d 7429 . . 3 (𝑦 = 𝑖 β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π‘–) / 𝑖))
81 simp3r 1200 . . . 4 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑦 ≀ 𝑖)
82 simp2l 1197 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
8382rpred 13020 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
84 simp3l 1199 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ e ≀ 𝑦)
85 simp2r 1198 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ+)
8685rpred 13020 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
875a1i 11 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ e ∈ ℝ)
8887, 83, 86, 84, 81letrd 11375 . . . . 5 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ e ≀ 𝑖)
89 logdivle 26366 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑦) ∧ (𝑖 ∈ ℝ ∧ e ≀ 𝑖)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑖 ↔ ((logβ€˜π‘–) / 𝑖) ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
9083, 84, 86, 88, 89syl22anc 835 . . . 4 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ (𝑦 ≀ 𝑖 ↔ ((logβ€˜π‘–) / 𝑖) ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)))
9181, 90mpbid 231 . . 3 ((⊀ ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑖 ∈ ℝ+) ∧ (e ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝑖)) β†’ ((logβ€˜π‘–) / 𝑖) ≀ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))
92 logdivsum.1 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
9371cxp1d 26450 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦↑𝑐1) = 𝑦)
9493oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1)) = ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))
9594mpteq2ia 5250 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦))
96 1rp 12982 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
97 cxploglim 26718 . . . . 5 (1 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1))) β‡π‘Ÿ 0)
9896, 97mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / (𝑦↑𝑐1))) β‡π‘Ÿ 0)
9995, 98eqbrtrrid 5183 . . 3 (⊀ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦)) β‡π‘Ÿ 0)
100 fveq2 6890 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ (logβ€˜π‘¦) = (logβ€˜π΄))
101 id 22 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ 𝑦 = 𝐴)
102100, 101oveq12d 7429 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((logβ€˜π‘¦) / 𝑦) = ((logβ€˜π΄) / 𝐴))
1032, 3, 4, 6, 14, 15, 19, 22, 24, 77, 80, 91, 92, 99, 102dvfsumrlim3 25785 . 2 (⊀ β†’ (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((logβ€˜π΄) / 𝐴))))
104103mptru 1546 1 (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ e ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((logβ€˜π΄) / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   β‡π‘Ÿ crli 15433  Ξ£csu 15636  eceu 16010   D cdv 25612  logclog 26299  β†‘𝑐ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem1  27273  mulog2sum  27276  vmalogdivsum2  27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator