Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennngt2o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blennngt2o2 43180
Description: The binary length of an odd integer greater than 1 is the binary length of the half of the integer decreased by 1, increased by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
blennngt2o2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Proof of Theorem blennngt2o2
StepHypRef Expression
1 2rp 12078 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
2 1ne2 11527 . . . . . . . . 9 1 ≠ 2
32necomi 3026 . . . . . . . 8 2 ≠ 1
4 eldifsn 4507 . . . . . . . 8 (2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1))
51, 3, 4mpbir2an 703 . . . . . . 7 2 ∈ (ℝ+ ∖ {1})
6 uz2m1nn 12007 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
76nnrpd 12114 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
87adantr 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
9 relogbdivb 43150 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
105, 8, 9sylancr 582 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
1110fveq2d 6416 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) = (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)))
1211oveq1d 6894 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1))
131a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
143a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 1)
15 relogbcl 24854 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1613, 7, 14, 15syl3anc 1491 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17 1z 11696 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
1816, 17jctir 517 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
1918adantr 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
20 flsubz 43106 . . . . . 6 (((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
2221oveq1d 6894 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1))
2316flcld 12853 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
2423zcnd 11772 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25 npcan1 10748 . . . . . . 7 ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
2726adantr 473 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
28 eluz2nn 11969 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2928peano2nnd 11332 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3029nnred 11330 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31 2re 11386 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
33 eluzge2nn0 11970 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34 nn0p1gt0 11610 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 + 1))
36 2pos 11422 . . . . . . . . . 10 0 < 2
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 2)
3830, 32, 35, 37divgt0d 11252 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
39 nn0z 11689 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
4038, 39anim12ci 608 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
41 elnnz 11675 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
4240, 41sylibr 226 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
43 nnolog2flm1 43178 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
4442, 43syldan 586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
4527, 44eqtr4d 2837 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4612, 22, 453eqtrd 2838 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4746oveq1d 6894 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
48 nno 15433 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
49 blennn 43163 . . . 4 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1))
5049oveq1d 6894 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
5148, 50syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
52 blennn 43163 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5328, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5453adantr 473 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5547, 51, 543eqtr4rd 2845 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2972  cdif 3767  {csn 4369   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   < clt 10364  cmin 10557   / cdiv 10977  cn 11313  2c2 11367  0cn0 11579  cz 11665  cuz 11929  +crp 12073  cfl 12845   logb clogb 24845  #bcblen 43157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ioc 12428  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-fac 13313  df-bc 13342  df-hash 13370  df-shft 14147  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-ef 15133  df-sin 15135  df-cos 15136  df-pi 15138  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971  df-log 24643  df-cxp 24644  df-logb 24846  df-blen 43158
This theorem is referenced by:  blengt1fldiv2p1  43181  nn0sumshdiglemB  43208
  Copyright terms: Public domain W3C validator