Theorem blennngt2o2 49223

Description: The binary length of an odd integer greater than 1 is the binary length of the half of the integer decreased by 1, increased by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blennngt2o2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Proof of Theorem blennngt2o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13012	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		1ne2 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
3	2	necomi 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 1
4		eldifsn 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1))
5	1, 3, 4	mpbir2an 723	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℝ+ ∖ {1})
6		uz2m1nn 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
9		relogbdivb 49193	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
10	5, 8, 9	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
11	10	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) = (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)))
12	11	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1))
13	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
14	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
15		relogbcl 26896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	13, 7, 14, 15	syl3anc 1394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17		1z 12615	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16, 17	jctir 529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
20		flsubz 49153	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
21	19, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
22	21	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1))
23	16	flcld 13822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		npcan1 11627	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
28		eluz2nn 12903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31		2re 12306	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
33		eluzge2nn0 12907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		nn0p1gt0 12524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 + 1))
36		2pos 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 2)
38	30, 32, 35, 37	divgt0d 12141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
39		nn0z 12606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
40	38, 39	anim12ci 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
41		elnnz 12592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
42	40, 41	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
43		nnolog2flm1 49221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
44	42, 43	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
45	27, 44	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
46	12, 22, 45	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
47	46	oveq1d 7415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
48		nno 16430	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
49		blennn 49206	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1))
50	49	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
51	48, 50	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
52		blennn 49206	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
53	28, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
54	53	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
55	47, 51, 54	3eqtr4rd 2811	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904  {csn 4585   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  ⌊cfl 13814   log_b clogb 26887  #_bcblen 49200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cxp 26680  df-logb 26888  df-blen 49201

This theorem is referenced by:  blengt1fldiv2p1  49224  nn0sumshdiglemB  49251