Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blennngt2o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blennngt2o2 44871
Description: The binary length of an odd integer greater than 1 is the binary length of the half of the integer decreased by 1, increased by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
blennngt2o2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Proof of Theorem blennngt2o2
StepHypRef Expression
1 2rp 12389 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
2 1ne2 11840 . . . . . . . . 9 1 ≠ 2
32necomi 3068 . . . . . . . 8 2 ≠ 1
4 eldifsn 4704 . . . . . . . 8 (2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1))
51, 3, 4mpbir2an 710 . . . . . . 7 2 ∈ (ℝ+ ∖ {1})
6 uz2m1nn 12318 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
76nnrpd 12424 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
9 relogbdivb 44841 . . . . . . 7 ((2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
105, 8, 9sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
1110fveq2d 6663 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) = (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)))
1211oveq1d 7161 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1))
131a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ+)
143a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 1)
15 relogbcl 25357 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1613, 7, 14, 15syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17 1z 12007 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
1816, 17jctir 524 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
1918adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
20 flsubz 44796 . . . . . 6 (((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
2221oveq1d 7161 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1))
2316flcld 13170 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
2423zcnd 12083 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25 npcan1 11059 . . . . . . 7 ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
2726adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
28 eluz2nn 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2928peano2nnd 11649 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3029nnred 11647 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31 2re 11706 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
33 eluzge2nn0 12282 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34 nn0p1gt0 11921 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝑁 + 1))
36 2pos 11735 . . . . . . . . . 10 0 < 2
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 2)
3830, 32, 35, 37divgt0d 11569 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
39 nn0z 12000 . . . . . . . 8 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
4038, 39anim12ci 616 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
41 elnnz 11986 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
4240, 41sylibr 237 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
43 nnolog2flm1 44869 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
4442, 43syldan 594 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
4527, 44eqtr4d 2862 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4612, 22, 453eqtrd 2863 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
4746oveq1d 7161 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
48 nno 15729 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
49 blennn 44854 . . . 4 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1))
5049oveq1d 7161 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
5148, 50syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
52 blennn 44854 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5328, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5453adantr 484 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
5547, 51, 543eqtr4rd 2870 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  {csn 4550   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11687  0cn0 11892  cz 11976  cuz 12238  +crp 12384  cfl 13162   logb clogb 25348  #bcblen 44848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14424  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-limsup 14826  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-ef 15419  df-sin 15421  df-cos 15422  df-pi 15424  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-cxp 25147  df-logb 25349  df-blen 44849
This theorem is referenced by:  blengt1fldiv2p1  44872  nn0sumshdiglemB  44899
  Copyright terms: Public domain W3C validator