Theorem blennngt2o2 48572

Description: The binary length of an odd integer greater than 1 is the binary length of the half of the integer decreased by 1, increased by 1. (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
blennngt2o2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Proof of Theorem blennngt2o2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13013	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		1ne2 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
3	2	necomi 2986	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 1
4		eldifsn 4762	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ↔ (2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1))
5	1, 3, 4	mpbir2an 711	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (ℝ+ ∖ {1})
6		uz2m1nn 12939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
7	6	nnrpd 13049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
9		relogbdivb 48542	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ (ℝ+ ∖ {1}) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
10	5, 8, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (2 logb ((𝑁 − 1) / 2)) = ((2 logb (𝑁 − 1)) − 1))
11	10	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) = (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)))
12	11	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1))
13	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ+)
14	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≠ 1)
15		relogbcl 26735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	13, 7, 14, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
17		1z 12622	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
18	16, 17	jctir 520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ))
20		flsubz 48498	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) = ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1))
22	21	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘((2 logb (𝑁 − 1)) − 1)) + 1) = (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1))
23	16	flcld 13815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
25		npcan1 11662	. . . . . . 7 ⊢ ((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) ∈ ℂ → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
28		eluz2nn 12898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
29	28	peano2nnd 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
30	29	nnred 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
31		2re 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℝ)
33		eluzge2nn0 12903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
34		nn0p1gt0 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (𝑁 + 1))
36		2pos 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 2)
38	30, 32, 35, 37	divgt0d 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
39		nn0z 12613	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
40	38, 39	anim12ci 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
41		elnnz 12598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
42	40, 41	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
43		nnolog2flm1 48570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
44	42, 43	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))))
45	27, 44	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb (𝑁 − 1))) − 1) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
46	12, 22, 45	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
47	46	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
48		nno 16401	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
49		blennn 48555	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → (#b‘((𝑁 − 1) / 2)) = ((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1))
50	49	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
51	48, 50	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1) = (((⌊‘(2 logb ((𝑁 − 1) / 2))) + 1) + 1))
52		blennn 48555	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
53	28, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
54	53	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
55	47, 51, 54	3eqtr4rd 2781	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘𝑁) = ((#b‘((𝑁 − 1) / 2)) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923  {csn 4601   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13008  ⌊cfl 13807   log_b clogb 26726  #_bcblen 48549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-log 26517  df-cxp 26518  df-logb 26727  df-blen 48550

This theorem is referenced by:  blengt1fldiv2p1  48573  nn0sumshdiglemB  48600