Theorem tanneg 15866

Description: The tangent of a negative is the negative of the tangent. (Contributed by David A. Wheeler, 23-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tanneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))

Proof of Theorem tanneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coscl 15845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
2		sincl 15844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
3		divneg 11676	. . . . 5 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
4	2, 3	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
5	1, 4	syl3an2 1163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
6	5	3anidm12 1418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
7		tanval 15846	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
8	7	negeqd 11224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -(tan‘𝐴) = -((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
9		negcl 11230	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
10		cosneg 15865	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
11	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
12		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
13	11, 12	eqnetrd 3012	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘-𝐴) ≠ 0)
14		tanval 15846	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘-𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
15	9, 13, 14	syl2an2r 682	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)))
16		sinneg 15864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
17	16, 10	oveq12d 7302	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘-𝐴) / (cos‘-𝐴)) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
19	15, 18	eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = (-(sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
20	6, 8, 19	3eqtr4rd 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  0cc0 10880  -cneg 11215   / cdiv 11641  sincsin 15782  cosccos 15783  tanctan 15784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-pm 8627  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-ico 13094  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-tan 15790

This theorem is referenced by:  tanhbnd  15879  tanabsge  25672  tanord  25703  atantan  26082