Theorem drngmulcan2ad 41684

Description: Cancellation of a nonzero factor on the right for multiplication. (mulcan2ad 11872 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmulcanad.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmulcanad.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmulcanad.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmulcanad.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmulcanad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
drngmulcan2ad.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
drngmulcan2ad	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem drngmulcan2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmulcan2ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
2	1	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑌 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)))
3		drngmulcanad.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		drngmulcanad.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		drngmulcanad.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20621	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drngmulcanad.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drngmulcanad.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		drngmulcanad.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11		drngmulcanad.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
12	3, 9, 10, 5, 8, 11	drnginvrcld 20637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
13	3, 4, 6, 7, 8, 12	ringassd 20187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
14		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15	3, 9, 4, 14, 10, 5, 8, 11	drnginvrrd 20641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
17	3, 4, 14, 6, 7	ringridmd 20198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = 𝑋)
19		drngmulcanad.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	3, 4, 6, 19, 8, 12	ringassd 20187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (𝑌 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
21	15	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))) = (𝑌 · (1r‘𝑅)))
22	3, 4, 14, 6, 19	ringridmd 20198	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1r‘𝑅)) = 𝑌)
23	20, 21, 22	3eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = 𝑌)
24	2, 18, 23	3eqtr3d 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  ._rcmulr 17225  0_gc0g 17412  1_rcur 20112  inv_rcinvr 20315  DivRingcdr 20613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-drng 20615

This theorem is referenced by:  drnginvmuld  41685