Theorem drngmulcan2ad 41814

Description: Cancellation of a nonzero factor on the right for multiplication. (mulcan2ad 11875 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngmulcanad.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngmulcanad.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngmulcanad.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
drngmulcanad.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drngmulcanad.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
drngmulcanad.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
drngmulcan2ad.2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
drngmulcan2ad	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem drngmulcan2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngmulcan2ad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
2	1	oveq1d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = ((𝑌 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)))
3		drngmulcanad.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		drngmulcanad.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		drngmulcanad.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
6	5	drngringd 20631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		drngmulcanad.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		drngmulcanad.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		drngmulcanad.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
11		drngmulcanad.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
12	3, 9, 10, 5, 8, 11	drnginvrcld 20647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
13	3, 4, 6, 7, 8, 12	ringassd 20196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
14		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
15	3, 9, 4, 14, 10, 5, 8, 11	drnginvrrd 20651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (1r‘𝑅))
16	15	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
17	3, 4, 14, 6, 7	ringridmd 20208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = 𝑋)
19		drngmulcanad.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20	3, 4, 6, 19, 8, 12	ringassd 20196	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = (𝑌 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))))
21	15	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑍 · ((invr‘𝑅)‘𝑍))) = (𝑌 · (1r‘𝑅)))
22	3, 4, 14, 6, 19	ringridmd 20208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (1r‘𝑅)) = 𝑌)
23	20, 21, 22	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍) · ((invr‘𝑅)‘𝑍)) = 𝑌)
24	2, 18, 23	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17415  1_rcur 20120  inv_rcinvr 20325  DivRingcdr 20623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20625

This theorem is referenced by:  drnginvmuld  41815