Theorem drnginvrcld 20837

Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring. (reccld 11983 analog). (Contributed by SN, 14-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
drnginvrcld.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
drnginvrcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
drnginvrcld.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
drnginvrcld	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem drnginvrcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvrcld.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drnginvrcld.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		drnginvrcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
4		drnginvrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		drnginvrcl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		drnginvrcl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	4, 5, 6	drnginvrcl 20835	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1396	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  inv_rcinvr 20468  DivRingcdr 20812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814

This theorem is referenced by:  fxpsdrg  33435  qsdrnglem2  33722  irngnzply1lem  34024  drnginvmuld  43186  prjspner1  43249