Theorem expaddd 14151

Description: Sum of exponents law for nonnegative integer exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
expaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem expaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		expadd 14107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1386	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑀 + 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℂcc 11061   + caddc 11066   · cmul 11068  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  binomrisefac  16048  dvdsexp  16338  odzdvds  16807  pcpremul  16855  prmreclem6  16933  psgnghm  21605  plymullem1  26247  quart1lem  26890  log2cnv  26979  mumul  27215  lgsdi  27368  gausslemma2d  27408  lgseisenlem2  27410  lgsquadlem2  27415  lgsquadlem3  27416  ostth2lem1  27652  cos9thpiminplylem1  34033  cos9thpiminplylem2  34034  madjusmdetlem4  34081  oddpwdc  34605  breprexplemc  34883  lcmineqlem3  42596  lcmineqlem21  42614  3lexlogpow5ineq5  42625  dvrelogpow2b  42633  aks4d1p1p4  42636  aks4d1p1p7  42639  aks4d1p1p5  42640  aks4d1p1  42641  aks6d1c1p8  42680  hashscontpow1  42686  2ap1caineq  42710  fltnltalem  43192  3cubeslem3l  43215  3cubeslem3r  43216  jm2.23  43521  itgsinexp  46477  wallispi2lem2  46594  sin5tlem1  47415  nnpw2pmod  49153  ackval3  49253