Theorem odz2prm2pw 45015

Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
odz2prm2pw	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem odz2prm2pw

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2nn 12046	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
6		peano2nn 11985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 13961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
9	3, 8	nnexpcld 13960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
11		modprm1div 16498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
12	1, 10, 11	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
13		prmnn 16379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		2z 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℤ)
18		eldifsn 4720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
19		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
20	19	necomd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
21	18, 20	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
22		2prm 16397	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
23		prmrp 16417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
24	22, 1, 23	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
25	21, 24	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
26	25	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 gcd 𝑃) = 1)
27	15, 17, 26	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
28	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
29		odzdvds 16496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
31	12, 30	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
32		nnnn0 12240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	5, 32	nn0expcld 13961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
34	3, 33	nnexpcld 13960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
36		modprm1div 16498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
37	1, 35, 36	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
38	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
39		odzdvds 16496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
40	27, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
41	37, 40	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
42	41	necon3abid 2980	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
43		odzcl 16494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ)
44	27, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ)
45	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46		dvdsprmpweqle 16587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
47	22, 44, 45, 46	mp3an2i 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
48		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
50	49	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
51		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
53		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
54	6	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
56		leloe 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
57	53, 55, 56	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
58		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59		nn0z 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
66		zleltp1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ↔ 𝑛 < (𝑁 + 1)))
67	59, 63, 66	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ 𝑁 ↔ 𝑛 < (𝑁 + 1)))
68	67	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
69		eluz2 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑁))
70	61, 65, 68, 69	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
71		dvdsexp 16037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
72	16, 58, 70, 71	mp3an2ani 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
73	72	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
74	73	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 < (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
75		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
76	75	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
77	74, 76	jaoi 854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
78	77	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
79	57, 78	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
80	79	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
82	81	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
83	52, 82	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
84	83	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
85	50, 84	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	expl 458	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
87	86	rexlimdva 3213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
88	47, 87	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
89	88	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
90	42, 89	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
91	90	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
92	31, 91	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
93	92	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
94	93	imp32 419	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   mod cmo 13589  ↑cexp 13782   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201  ℙcprime 16376  od_ℤcodz 16464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-odz 16466  df-phi 16467  df-pc 16538

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  45016