Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odz2prm2pw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odz2prm2pw 46965
Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
odz2prm2pw (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem odz2prm2pw
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4119 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 2nn 12313 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 12517 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
6 peano2nn 12252 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
76nnnn0d 12560 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 14238 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
93, 8nnexpcld 14237 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
109nnzd 12613 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
11 modprm1div 16763 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
121, 10, 11syl2anr 595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
13 prmnn 16642 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
16 2z 12622 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℤ)
18 eldifsn 4786 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
19 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
2019necomd 2986 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
2118, 20sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
22 2prm 16660 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
23 prmrp 16680 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
2422, 1, 23sylancr 585 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
2521, 24mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
2625adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 gcd 𝑃) = 1)
2715, 17, 263jca 1125 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
288adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
29 odzdvds 16761 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
3112, 30bitrd 278 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
32 nnnn0 12507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
335, 32nn0expcld 14238 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
343, 33nnexpcld 14237 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
3534nnzd 12613 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
36 modprm1div 16763 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
371, 35, 36syl2anr 595 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
3833adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
39 odzdvds 16761 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4027, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4137, 40bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4241necon3abid 2967 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
43 odzcl 16759 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ)
4427, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ)
457adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46 dvdsprmpweqle 16852 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
4722, 44, 45, 46mp3an2i 1462 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
48 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
4948adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
5049notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
51 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
5251adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
53 nn0re 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
546nnred 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
56 leloe 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
5753, 55, 56syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
58 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59 nn0z 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62 nnz 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
66 zleltp1 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁𝑛 < (𝑁 + 1)))
6759, 63, 66syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛𝑁𝑛 < (𝑁 + 1)))
6867biimpar 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛𝑁)
69 eluz2 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑁))
7061, 65, 68, 69syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
71 dvdsexp 16302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
7216, 58, 70, 71mp3an2ani 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
7372pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
7473expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 < (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
75 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
76752a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7774, 76jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7877com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7957, 78sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8079imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
8281imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
8352, 82eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
8483ex 411 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
8550, 84sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
8685expl 456 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8786rexlimdva 3145 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8847, 87syld 47 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8988com23 86 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9042, 89sylbid 239 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9190com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9231, 91sylbid 239 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9392com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9493imp32 417 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  wrex 3060  cdif 3937  {csn 4624   class class class wbr 5143  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276  cle 11277  cmin 11472  cn 12240  2c2 12295  0cn0 12500  cz 12586  cuz 12850   mod cmo 13864  cexp 14056  cdvds 16228   gcd cgcd 16466  cprime 16639  odcodz 16729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-odz 16731  df-phi 16732  df-pc 16803
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  46966
  Copyright terms: Public domain W3C validator