Theorem odz2prm2pw 47677

Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
odz2prm2pw	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem odz2prm2pw

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2nn 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
6		peano2nn 12147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
9	3, 8	nnexpcld 14162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12505	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
11		modprm1div 16719	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
12	1, 10, 11	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
13		prmnn 16595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		2z 12514	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℤ)
18		eldifsn 4739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
20	19	necomd 2985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
21	18, 20	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
22		2prm 16613	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
23		prmrp 16633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
24	22, 1, 23	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
25	21, 24	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 gcd 𝑃) = 1)
27	15, 17, 26	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
28	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
29		odzdvds 16717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
31	12, 30	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
32		nnnn0 12398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	5, 32	nn0expcld 14163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
34	3, 33	nnexpcld 14162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
36		modprm1div 16719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
37	1, 35, 36	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
38	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
39		odzdvds 16717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
40	27, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
41	37, 40	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
42	41	necon3abid 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
43		odzcl 16715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ)
44	27, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ)
45	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46		dvdsprmpweqle 16808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
47	22, 44, 45, 46	mp3an2i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
48		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
50	49	notbid 318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
51		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
53		nn0re 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
54	6	nnred 12150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
56		leloe 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
57	53, 55, 56	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
58		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59		nn0z 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62		nnz 12499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
66		zleltp1 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ↔ 𝑛 < (𝑁 + 1)))
67	59, 63, 66	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ 𝑁 ↔ 𝑛 < (𝑁 + 1)))
68	67	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
69		eluz2 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑁))
70	61, 65, 68, 69	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
71		dvdsexp 16249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
72	16, 58, 70, 71	mp3an2ani 1470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
73	72	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
74	73	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 < (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
75		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
76	75	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
77	74, 76	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
78	77	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
79	57, 78	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
80	79	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
82	81	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
83	52, 82	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
84	83	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
85	50, 84	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	expl 457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
87	86	rexlimdva 3135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
88	47, 87	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
89	88	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
90	42, 89	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
91	90	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
92	31, 91	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
93	92	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
94	93	imp32 418	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∖ cdif 3896  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  1c1 11017   + caddc 11019   < clt 11156   ≤ cle 11157   − cmin 11354  ℕcn 12135  2c2 12190  ℕ₀cn0 12391  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742   mod cmo 13783  ↑cexp 13978   ∥ cdvds 16173   gcd cgcd 16415  ℙcprime 16592  od_ℤcodz 16684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-sup 9336  df-inf 9337  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-q 12857  df-rp 12901  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-hash 14248  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-gcd 16416  df-prm 16593  df-odz 16686  df-phi 16687  df-pc 16759

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  47678