Theorem odz2prm2pw 44903

Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
odz2prm2pw	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem odz2prm2pw

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		2nn 11976	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4		2nn0 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
6		peano2nn 11915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
8	5, 7	nn0expcld 13889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
9	3, 8	nnexpcld 13888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
11		modprm1div 16426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
12	1, 10, 11	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
13		prmnn 16307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
16		2z 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℤ)
18		eldifsn 4717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
20	19	necomd 2998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
21	18, 20	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
22		2prm 16325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℙ
23		prmrp 16345	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
24	22, 1, 23	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
25	21, 24	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
26	25	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 gcd 𝑃) = 1)
27	15, 17, 26	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
28	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
29		odzdvds 16424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
30	27, 28, 29	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
31	12, 30	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
32		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	5, 32	nn0expcld 13889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
34	3, 33	nnexpcld 13888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
36		modprm1div 16426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
37	1, 35, 36	syl2anr 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
38	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
39		odzdvds 16424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
40	27, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
41	37, 40	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
42	41	necon3abid 2979	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
43		odzcl 16422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ)
44	27, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ)
45	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46		dvdsprmpweqle 16515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℙ ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
47	22, 44, 45, 46	mp3an2i 1464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
48		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
50	49	notbid 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
51		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
53		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
54	6	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
56		leloe 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
57	53, 55, 56	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
58		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59		nn0z 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
66		zleltp1 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ↔ 𝑛 < (𝑁 + 1)))
67	59, 63, 66	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ 𝑁 ↔ 𝑛 < (𝑁 + 1)))
68	67	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
69		eluz2 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ≤ 𝑁))
70	61, 65, 68, 69	syl3anbrc 1341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
71		dvdsexp 15965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
72	16, 58, 70, 71	mp3an2ani 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
73	72	pm2.24d 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
74	73	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 < (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
75		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
76	75	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
77	74, 76	jaoi 853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
78	77	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
79	57, 78	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
80	79	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
82	81	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
83	52, 82	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
84	83	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
85	50, 84	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	expl 457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
87	86	rexlimdva 3212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
88	47, 87	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
89	88	com23 86	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ ((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
90	42, 89	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
91	90	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((odℤ‘𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
92	31, 91	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
93	92	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
94	93	imp32 418	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((odℤ‘𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   mod cmo 13517  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891   gcd cgcd 16129  ℙcprime 16304  od_ℤcodz 16392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-odz 16394  df-phi 16395  df-pc 16466

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  44904