Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  odz2prm2pw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odz2prm2pw 47550
Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
odz2prm2pw (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem odz2prm2pw
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4131 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
6 peano2nn 12278 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
76nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
85, 7nn0expcld 14285 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
93, 8nnexpcld 14284 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℕ)
109nnzd 12640 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ)
11 modprm1div 16835 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑(𝑁 + 1))) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
121, 10, 11syl2anr 597 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1)))
13 prmnn 16711 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
16 2z 12649 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ∈ ℤ)
18 eldifsn 4786 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
2019necomd 2996 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
2118, 20sylbi 217 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
22 2prm 16729 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
23 prmrp 16749 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
2422, 1, 23sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 gcd 𝑃) = 1 ↔ 2 ≠ 𝑃))
2521, 24mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 gcd 𝑃) = 1)
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 gcd 𝑃) = 1)
2715, 17, 263jca 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1))
288adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
29 odzdvds 16833 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
3112, 30bitrd 279 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1))))
32 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
335, 32nn0expcld 14285 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
343, 33nnexpcld 14284 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℕ)
3534nnzd 12640 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ)
36 modprm1div 16835 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (2↑(2↑𝑁)) ∈ ℤ) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
371, 35, 36syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1)))
3833adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
39 odzdvds 16833 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) ∧ (2↑𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4027, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃 ∥ ((2↑(2↑𝑁)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4137, 40bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
4241necon3abid 2977 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ↔ ¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁)))
43 odzcl 16831 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (2 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ)
4427, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ)
457adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46 dvdsprmpweqle 16924 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℙ ∧ ((od𝑃)‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
4722, 44, 45, 46mp3an2i 1468 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))))
48 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
5049notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) ↔ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛))
53 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
546nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
56 leloe 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
5753, 55, 56syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ↔ (𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1))))
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
59 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
62 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
66 zleltp1 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑛𝑁𝑛 < (𝑁 + 1)))
6759, 63, 66syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛𝑁𝑛 < (𝑁 + 1)))
6867biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑛𝑁)
69 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑁))
7061, 65, 68, 69syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
71 dvdsexp 16365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑛)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
7216, 58, 70, 71mp3an2ani 1470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁))
7372pm2.24d 151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 < (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
7473expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 < (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
75 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
76752a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7774, 76jaoi 858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7877com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 < (𝑁 + 1) ∨ 𝑛 = (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
7957, 78sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8079imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1))))
8281imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → (2↑𝑛) = (2↑(𝑁 + 1)))
8352, 82eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) ∧ ¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
8483ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ (2↑𝑛) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
8550, 84sylbid 240 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1))))
8685expl 457 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8786rexlimdva 3155 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ (𝑁 + 1) ∧ ((od𝑃)‘2) = (2↑𝑛)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8847, 87syld 47 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
8988com23 86 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (¬ ((od𝑃)‘2) ∥ (2↑𝑁) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9042, 89sylbid 240 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9190com23 86 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((od𝑃)‘2) ∥ (2↑(𝑁 + 1)) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9231, 91sylbid 240 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9392com23 86 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 → (((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1 → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))))
9493imp32 418 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (((2↑(2↑𝑁)) mod 𝑃) ≠ 1 ∧ ((2↑(2↑(𝑁 + 1))) mod 𝑃) = 1)) → ((od𝑃)‘2) = (2↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878   mod cmo 13909  cexp 14102  cdvds 16290   gcd cgcd 16531  cprime 16708  odcodz 16800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  47551
  Copyright terms: Public domain W3C validator