Theorem efmnd1bas 18952

Description: The monoid of endofunctions on a singleton consists of the identity only. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmnd1bas.1	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmnd1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmnd1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
efmnd1bas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem efmnd1bas

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmnd1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmnd1bas.0	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
3	2	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (EndoFMnd‘𝐴) = (EndoFMnd‘{𝐼})
4	1, 3	eqtri 2792	. . 3 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘{𝐼})
5		efmnd1bas.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	efmndbas 18930	. 2 ⊢ 𝐵 = ({𝐼} ↑m {𝐼})
7		fsng 7134	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
8	7	anidms 576	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
9		snex 5411	. . . . 5 ⊢ {𝐼} ∈ V
10	9, 9	elmap 8869	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ({𝐼} ↑m {𝐼}) ↔ 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
11		velsn 4610	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
12	8, 10, 11	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ ({𝐼} ↑m {𝐼}) ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
13	12	eqrdv 2767	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} ↑m {𝐼}) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
14	6, 13	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ⟨cop 4600  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  Basecbs 17269  EndoFMndcefmnd 18927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-tset 17329  df-efmnd 18928

This theorem is referenced by:  snsymgefmndeq  19465