MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmnd1bas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmnd1bas 18849
Description: The monoid of endofunctions on a singleton consists of the identity only. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efmnd1bas.1 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
efmnd1bas.2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
efmnd1bas.0 𝐴 = {𝐼}
Assertion
Ref Expression
efmnd1bas (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem efmnd1bas
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efmnd1bas.1 . . . 4 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
2 efmnd1bas.0 . . . . 5 𝐴 = {𝐼}
32fveq2i 6895 . . . 4 (EndoFMndβ€˜π΄) = (EndoFMndβ€˜{𝐼})
41, 3eqtri 2753 . . 3 𝐺 = (EndoFMndβ€˜{𝐼})
5 efmnd1bas.2 . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
64, 5efmndbas 18827 . 2 𝐡 = ({𝐼} ↑m {𝐼})
7 fsng 7142 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝑝:{𝐼}⟢{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
87anidms 565 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑝:{𝐼}⟢{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
9 snex 5427 . . . . 5 {𝐼} ∈ V
109, 9elmap 8888 . . . 4 (𝑝 ∈ ({𝐼} ↑m {𝐼}) ↔ 𝑝:{𝐼}⟢{𝐼})
11 velsn 4640 . . . 4 (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
128, 10, 113bitr4g 313 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 ∈ ({𝐼} ↑m {𝐼}) ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
1312eqrdv 2723 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ({𝐼} ↑m {𝐼}) = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
146, 13eqtrid 2777 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624  βŸ¨cop 4630  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ↑m cmap 8843  Basecbs 17179  EndoFMndcefmnd 18824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-tset 17251  df-efmnd 18825
This theorem is referenced by:  snsymgefmndeq  19353
  Copyright terms: Public domain W3C validator