Theorem efmnd1hash 19120

Description: The monoid of endofunctions on a singleton has cardinality 1. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmnd1bas.1	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmnd1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmnd1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
efmnd1hash	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem efmnd1hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmnd1bas.0	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
2		snfi 9102	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ Fin
3	1, 2	eqeltri 2860	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Fin
4		efmnd1bas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
5		efmnd1bas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6	4, 5	efmndhash 19104	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)))
7	3, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴))
8	1	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘{𝐼})
9		hashsng 14543	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐼}) = 1)
10	8, 9	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) = 1)
11	10, 10	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = (1↑1))
12		1z 12756	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		1exp 14264	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1↑1) = 1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (1↑1) = 1
15	11, 14	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴)↑(♯‘𝐴)) = 1)
16	7, 15	eqtrid 2810	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐵) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Fincfn 9004  1c1 11231  ℤcz 12723  ↑cexp 14234  ♯chash 14504  Basecbs 17419  EndoFMndcefmnd 19096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-tset 17479  df-efmnd 19097

This theorem is used by: (None)