Theorem umgr2wlkon 30540

Description: For each pair of adjacent edges in a multigraph, there is a walk of length 2 between the not common vertices of the edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2wlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2wlkon	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝐶,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝐸,𝑝

Proof of Theorem umgr2wlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2wlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgr2wlk 30539	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))))
3		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
4		eqcom 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑝‘0) ↔ (𝑝‘0) = 𝐴)
5	4	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑝‘0) → (𝑝‘0) = 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → (𝑝‘0) = 𝐴)
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → (𝑝‘0) = 𝐴)
8		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 = (♯‘𝑓) → (𝑝‘2) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))
9	8	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘2) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))
10	9	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((𝑝‘2) = 𝐶 ↔ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
11	10	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝‘2) = 𝐶 → ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
12	11	eqcoms 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = (𝑝‘2) → ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
13	12	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
14	13	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) = 2 → ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)))
16	15	3imp 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)
17	3, 7, 16	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
19	1	umgr2adedgwlklem 30534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
20		simprr1 1240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		simprr3 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
22	20, 21	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	19, 22	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
24		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
25		vex 3454	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑝 ∈ V
26	24, 25	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V)
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → (𝑓 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V))
28		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
29	28	iswlkon 30237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V)) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝 ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)))
30	23, 27, 29	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝 ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)))
31	18, 30	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝)
32	31	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝))
33	32	2eximdv 1951	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝))
34	2, 33	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {cpr 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11201  1c1 11202  2c2 12398  ♯chash 14475  Vtxcvtx 29575  Edgcedg 29626  UMGraphcumgr 29660  Walkscwlks 30178  WalksOncwlkson 30179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-edg 29627  df-uhgr 29637  df-upgr 29661  df-umgr 29662  df-wlks 30181  df-wlkson 30182

This theorem is used by: (None)