Theorem umgr2wlkon 30569

Description: For each pair of adjacent edges in a multigraph, there is a walk of length 2 between the not common vertices of the edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 30-Jan-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgr2wlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2wlkon	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝐶,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝   𝑓,𝐸,𝑝

Proof of Theorem umgr2wlkon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgr2wlk.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgr2wlk 30568	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))))
3		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
4		eqcom 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = (𝑝‘0) ↔ (𝑝‘0) = 𝐴)
5	4	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑝‘0) → (𝑝‘0) = 𝐴)
6	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → (𝑝‘0) = 𝐴)
7	6	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → (𝑝‘0) = 𝐴)
8		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 = (♯‘𝑓) → (𝑝‘2) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))
9	8	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘2) = (𝑝‘(♯‘𝑓)))
10	9	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((𝑝‘2) = 𝐶 ↔ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
11	10	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝‘2) = 𝐶 → ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
12	11	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 = (𝑝‘2) → ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
13	12	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → ((♯‘𝑓) = 2 → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
14	13	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑓) = 2 → ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → ((♯‘𝑓) = 2 → ((𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)))
16	15	3imp 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)
17	3, 7, 16	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶))
19	1	umgr2adedgwlklem 30563	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
20		simprr1 1240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
21		simprr3 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
22	20, 21	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
23	19, 22	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
24		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑓 ∈ V
25		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑝 ∈ V
26	24, 25	pm3.2i 476	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V)
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → (𝑓 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V))
28		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
29	28	iswlkon 30266	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑝 ∈ V)) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝 ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)))
30	23, 27, 29	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → (𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝 ↔ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘(♯‘𝑓)) = 𝐶)))
31	18, 30	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ∧ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2)))) → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝)
32	31	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝))
33	32	2eximdv 1954	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (∃𝑓∃𝑝(𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2 ∧ (𝐴 = (𝑝‘0) ∧ 𝐵 = (𝑝‘1) ∧ 𝐶 = (𝑝‘2))) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝))
34	2, 33	mpd 16	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ∃𝑓∃𝑝 𝑓(𝐴(WalksOn‘𝐺)𝐶)𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {cpr 4590   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  ♯chash 14501  Vtxcvtx 29604  Edgcedg 29655  UMGraphcumgr 29689  Walkscwlks 30207  WalksOncwlkson 30208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-edg 29656  df-uhgr 29666  df-upgr 29690  df-umgr 29691  df-wlks 30210  df-wlkson 30211

This theorem is used by: (None)