Theorem wrdl3s3 14897

Description: A word of length 3 is a length 3 string. (Contributed by AV, 18-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl3s3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem wrdl3s3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11138	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4727	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3		fzo0to3tp 13680	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
4	2, 3	eleqtrri 2836	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
5		oveq2 7376	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
6	4, 5	eleqtrrid 2844	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7		wrdsymbcl 14462	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
8	6, 7	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
9		1ex 11140	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
10	9	tpid2 4729	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
11	10, 3	eleqtrri 2836	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
12	11, 5	eleqtrrid 2844	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdsymbcl 14462	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
14	12, 13	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
15		2ex 12234	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
16	15	tpid3 4732	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
17	16, 3	eleqtrri 2836	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
18	17, 5	eleqtrrid 2844	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 2 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19		wrdsymbcl 14462	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘2) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘2) ∈ 𝑉)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (♯‘𝑊) = 3)
22		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)
23		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘1) = (𝑊‘1)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)
25	22, 23, 24	3pm3.2i 1341	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))
26	21, 25	jctir 520	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))))
27		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
28	27	3anbi1d 1443	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → (((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
29	28	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
30		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘1) → ((𝑊‘1) = 𝑏 ↔ (𝑊‘1) = (𝑊‘1)))
31	30	3anbi2d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘1) → (((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
32	31	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘1) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
33		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑊‘2) → ((𝑊‘2) = 𝑐 ↔ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))
34	33	3anbi3d 1445	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑊‘2) → (((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))))
35	34	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑊‘2) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))))
36	29, 32, 35	rspc3ev 3595	. . . 4 ⊢ ((((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘2) ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
37	8, 14, 20, 26, 36	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
38		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
39		eqwrds3 14896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
40	39	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))))
41	38, 40	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))))
42	41	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))))
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))))
44	43	imp31 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
45	44	rexbidva 3160	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
46	45	2rexbidva 3201	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
47	37, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
48		s3cl 14814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉)
49	48	ad4ant123 1174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉)
50		s3len 14829	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3
51	49, 50	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3))
52		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉))
53		fveqeq2 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ((♯‘𝑊) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3))
54	52, 53	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3)))
55	54	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3)))
56	51, 55	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3))
57	56	rexlimdva2 3141	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3)))
58	57	rexlimivv 3180	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3))
59	47, 58	impbii 209	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {ctp 4586  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12212  3c3 12213  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448  ⟨“cs3 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784

This theorem is referenced by:  elwwlks2s3  30036