MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdl3s3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdl3s3 14895
Description: A word of length 3 is a length 3 string. (Contributed by AV, 18-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdl3s3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem wrdl3s3
StepHypRef Expression
1 c0ex 11190 . . . . . . . 8 0 ∈ V
21tpid1 4765 . . . . . . 7 0 ∈ {0, 1, 2}
3 fzo0to3tp 13700 . . . . . . 7 (0..^3) = {0, 1, 2}
42, 3eleqtrri 2831 . . . . . 6 0 ∈ (0..^3)
5 oveq2 7401 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
64, 5eleqtrrid 2839 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 3 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7 wrdsymbcl 14459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
86, 7sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
9 1ex 11192 . . . . . . . 8 1 ∈ V
109tpid2 4767 . . . . . . 7 1 ∈ {0, 1, 2}
1110, 3eleqtrri 2831 . . . . . 6 1 ∈ (0..^3)
1211, 5eleqtrrid 2839 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13 wrdsymbcl 14459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
1412, 13sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
15 2ex 12271 . . . . . . . 8 2 ∈ V
1615tpid3 4770 . . . . . . 7 2 ∈ {0, 1, 2}
1716, 3eleqtrri 2831 . . . . . 6 2 ∈ (0..^3)
1817, 5eleqtrrid 2839 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 3 → 2 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19 wrdsymbcl 14459 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘2) ∈ 𝑉)
2018, 19sylan2 593 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘2) ∈ 𝑉)
21 simpr 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (♯‘𝑊) = 3)
22 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑊‘0) = (𝑊‘0)
23 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑊‘1) = (𝑊‘1)
24 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑊‘2) = (𝑊‘2)
2522, 23, 243pm3.2i 1339 . . . . 5 ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))
2621, 25jctir 521 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))))
27 eqeq2 2743 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
28273anbi1d 1440 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑊‘0) → (((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
2928anbi2d 629 . . . . 5 (𝑎 = (𝑊‘0) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
30 eqeq2 2743 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑊‘1) → ((𝑊‘1) = 𝑏 ↔ (𝑊‘1) = (𝑊‘1)))
31303anbi2d 1441 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑊‘1) → (((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
3231anbi2d 629 . . . . 5 (𝑏 = (𝑊‘1) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
33 eqeq2 2743 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑊‘2) → ((𝑊‘2) = 𝑐 ↔ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))
34333anbi3d 1442 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑊‘2) → (((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))))
3534anbi2d 629 . . . . 5 (𝑐 = (𝑊‘2) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))))
3629, 32, 35rspc3ev 3624 . . . 4 ((((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘2) ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
378, 14, 20, 26, 36syl31anc 1373 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
38 df-3an 1089 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ ((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑐𝑉))
39 eqwrds3 14894 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
4039ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))))
4138, 40biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))))
4241expd 416 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑐𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))))
4342adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑐𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))))
4443imp31 418 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑐𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
4544rexbidva 3175 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (∃𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ∃𝑐𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
46452rexbidva 3216 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
4737, 46mpbird 256 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
48 s3cl 14812 . . . . . . 7 ((𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉)
4948ad4ant123 1172 . . . . . 6 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉)
50 s3len 14827 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3
5149, 50jctir 521 . . . . 5 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3))
52 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉))
53 fveqeq2 6887 . . . . . . 7 (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ((♯‘𝑊) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3))
5452, 53anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3)))
5554adantl 482 . . . . 5 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3)))
5651, 55mpbird 256 . . . 4 ((((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ 𝑐𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3))
5756rexlimdva2 3156 . . 3 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (∃𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3)))
5857rexlimivv 3198 . 2 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3))
5947, 58impbii 208 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3069  {ctp 4626  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093  2c2 12249  3c3 12250  ..^cfzo 13609  chash 14272  Word cword 14446  ⟨“cs3 14775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-concat 14503  df-s1 14528  df-s2 14781  df-s3 14782
This theorem is referenced by:  elwwlks2s3  29070
  Copyright terms: Public domain W3C validator