Theorem wrdl3s3 14869

Description: A word of length 3 is a length 3 string. (Contributed by AV, 18-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl3s3	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem wrdl3s3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11106	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4721	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3		fzo0to3tp 13652	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
4	2, 3	eleqtrri 2830	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
5		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
6	4, 5	eleqtrrid 2838	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7		wrdsymbcl 14434	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
8	6, 7	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
9		1ex 11108	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
10	9	tpid2 4723	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
11	10, 3	eleqtrri 2830	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
12	11, 5	eleqtrrid 2838	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
13		wrdsymbcl 14434	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
14	12, 13	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘1) ∈ 𝑉)
15		2ex 12202	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ V
16	15	tpid3 4726	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
17	16, 3	eleqtrri 2830	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
18	17, 5	eleqtrrid 2838	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → 2 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19		wrdsymbcl 14434	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘2) ∈ 𝑉)
20	18, 19	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊‘2) ∈ 𝑉)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (♯‘𝑊) = 3)
22		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)
23		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘1) = (𝑊‘1)
24		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)
25	22, 23, 24	3pm3.2i 1340	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))
26	21, 25	jctir 520	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))))
27		eqeq2 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
28	27	3anbi1d 1442	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → (((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
29	28	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑊‘0) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
30		eqeq2 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘1) → ((𝑊‘1) = 𝑏 ↔ (𝑊‘1) = (𝑊‘1)))
31	30	3anbi2d 1443	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘1) → (((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
32	31	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝑊‘1) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
33		eqeq2 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑊‘2) → ((𝑊‘2) = 𝑐 ↔ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))
34	33	3anbi3d 1444	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑊‘2) → (((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐) ↔ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2))))
35	34	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑊‘2) → (((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)) ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))))
36	29, 32, 35	rspc3ev 3594	. . . 4 ⊢ ((((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘2) ∈ 𝑉) ∧ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊‘1) = (𝑊‘1) ∧ (𝑊‘2) = (𝑊‘2)))) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
37	8, 14, 20, 26, 36	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))
38		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
39		eqwrds3 14868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
40	39	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))))
41	38, 40	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐)))))
42	41	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))))
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑐 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))))
44	43	imp31 417	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
45	44	rexbidva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
46	45	2rexbidva 3195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ((♯‘𝑊) = 3 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘1) = 𝑏 ∧ (𝑊‘2) = 𝑐))))
47	37, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)
48		s3cl 14786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉)
49	48	ad4ant123 1173	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉)
50		s3len 14801	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3
51	49, 50	jctir 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3))
52		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉))
53		fveqeq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ((♯‘𝑊) = 3 ↔ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3))
54	52, 53	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3)))
55	54	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ (⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) = 3)))
56	51, 55	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3))
57	56	rexlimdva2 3135	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3)))
58	57	rexlimivv 3174	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3))
59	47, 58	impbii 209	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 𝑊 = ⟨“𝑎𝑏𝑐”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {ctp 4580  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007  2c2 12180  3c3 12181  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs3 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755  df-s3 14756

This theorem is referenced by:  elwwlks2s3  29930