Theorem eqg0el 19378

Description: Equivalence class of a quotient group for a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqg0el.1	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
eqg0el	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([𝑋] ∼ = 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ 𝐻))

Proof of Theorem eqg0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqg0el.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
3	1, 2	eqger 19370	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er (Base‘𝐺))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∼ Er (Base‘𝐺))
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	grpidcl 19156	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
8	4, 7	erth 8756	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((0g‘𝐺) ∼ 𝑋 ↔ [(0g‘𝐺)] ∼ = [𝑋] ∼ ))
9	1, 2, 5	eqgid 19372	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)] ∼ = 𝐻)
10	9	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → [(0g‘𝐺)] ∼ = 𝐻)
11	10	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([(0g‘𝐺)] ∼ = [𝑋] ∼ ↔ 𝐻 = [𝑋] ∼ ))
12		eqcom 2768	. . . 4 ⊢ (𝐻 = [𝑋] ∼ ↔ [𝑋] ∼ = 𝐻)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐻 = [𝑋] ∼ ↔ [𝑋] ∼ = 𝐻))
14	8, 11, 13	3bitrrd 309	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([𝑋] ∼ = 𝐻 ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
15		errel 8711	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er (Base‘𝐺) → Rel ∼ )
16		relelec 8749	. . . 4 ⊢ (Rel ∼ → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
17	3, 15, 16	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
18	17	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
19	10	eleq2d 2847	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ 𝑋 ∈ 𝐻))
20	14, 18, 19	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([𝑋] ∼ = 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  Rel wrel 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   Er wer 8698  [cec 8699  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  SubGrpcsubg 19310   ~_QG cqg 19312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-ec 8703  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-subg 19313  df-eqg 19315

This theorem is used by:  ghmqusker  19481  qsidomlem1  21616  qsidomlem2  21617  qsdrngi  34001