Theorem eqg0el 31078

Description: Equivalence class of a quotient group for a subgroup. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqg0el.1	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
eqg0el	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([𝑋] ∼ = 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ 𝐻))

Proof of Theorem eqg0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqg0el.1	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
3	1, 2	eqger 18397	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er (Base‘𝐺))
4	3	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ∼ Er (Base‘𝐺))
5		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	1, 5	grpidcl 18198	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
8	4, 7	erth 8348	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((0g‘𝐺) ∼ 𝑋 ↔ [(0g‘𝐺)] ∼ = [𝑋] ∼ ))
9	1, 2, 5	eqgid 18399	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → [(0g‘𝐺)] ∼ = 𝐻)
10	9	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → [(0g‘𝐺)] ∼ = 𝐻)
11	10	eqeq1d 2760	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([(0g‘𝐺)] ∼ = [𝑋] ∼ ↔ 𝐻 = [𝑋] ∼ ))
12		eqcom 2765	. . . 4 ⊢ (𝐻 = [𝑋] ∼ ↔ [𝑋] ∼ = 𝐻)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐻 = [𝑋] ∼ ↔ [𝑋] ∼ = 𝐻))
14	8, 11, 13	3bitrrd 309	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([𝑋] ∼ = 𝐻 ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
15		errel 8308	. . . 4 ⊢ ( ∼ Er (Base‘𝐺) → Rel ∼ )
16		relelec 8344	. . . 4 ⊢ (Rel ∼ → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
17	3, 15, 16	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
18	17	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ (0g‘𝐺) ∼ 𝑋))
19	10	eleq2d 2837	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ [(0g‘𝐺)] ∼ ↔ 𝑋 ∈ 𝐻))
20	14, 18, 19	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ([𝑋] ∼ = 𝐻 ↔ 𝑋 ∈ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  Rel wrel 5529  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   Er wer 8296  [cec 8297  Basecbs 16541  0_gc0g 16771  Grpcgrp 18169  SubGrpcsubg 18340   ~_QG cqg 18342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-ec 8301  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-subg 18343  df-eqg 18345

This theorem is referenced by:  qsidomlem1  31149  qsidomlem2  31150