MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quselbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quselbas 19107
Description: Membership in the base set of a quotient group. (Contributed by AV, 1-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
quselbas.e = (𝐺 ~QG 𝑆)
quselbas.u 𝑈 = (𝐺 /s )
quselbas.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
quselbas ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = [𝑥] ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝑥,
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem quselbas
StepHypRef Expression
1 quselbas.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐺 /s )
21a1i 11 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → 𝑈 = (𝐺 /s ))
3 quselbas.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5 quselbas.e . . . . . . 7 = (𝐺 ~QG 𝑆)
65ovexi 7438 . . . . . 6 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → ∈ V)
8 simpl 482 . . . . 5 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → 𝐺𝑉)
92, 4, 7, 8qusbas 17497 . . . 4 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → (𝐵 / ) = (Base‘𝑈))
109eqcomd 2732 . . 3 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → (Base‘𝑈) = (𝐵 / ))
1110eleq2d 2813 . 2 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ 𝑋 ∈ (𝐵 / )))
12 elqsg 8761 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝑋 ∈ (𝐵 / ) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = [𝑥] ))
1312adantl 481 . 2 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → (𝑋 ∈ (𝐵 / ) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = [𝑥] ))
1411, 13bitrd 279 1 ((𝐺𝑉𝑋𝑊) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑈) ↔ ∃𝑥𝐵 𝑋 = [𝑥] ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  Vcvv 3468  cfv 6536  (class class class)co 7404  [cec 8700   / cqs 8701  Basecbs 17150   /s cqus 17457   ~QG cqg 19046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-imas 17460  df-qus 17461
This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21151
  Copyright terms: Public domain W3C validator