MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  facdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem facdiv 14193
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5110 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค 0))
2 fveq2 6843 . . . . . . 7 (๐‘— = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜0))
32oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = 0 โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜0) / ๐‘))
43eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘— = 0 โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
51, 4imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
65imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = 0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7 breq2 5110 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘˜))
8 fveq2 6843 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘˜))
98oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘))
109eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
117, 10imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
1211imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
13 breq2 5110 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1)))
14 fveq2 6843 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
1514oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
1615eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
1713, 16imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
1817imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
19 breq2 5110 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†” ๐‘ โ‰ค ๐‘€))
20 fveq2 6843 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (!โ€˜๐‘—) = (!โ€˜๐‘€))
2120oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) = ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘))
2221eleq1d 2819 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
2319, 22imbi12d 345 . . . 4 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
2423imbi2d 341 . . 3 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘— โ†’ ((!โ€˜๐‘—) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
25 nnnle0 12191 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ๐‘ โ‰ค 0)
2625pm2.21d 121 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค 0 โ†’ ((!โ€˜0) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
27 nnre 12165 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
28 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
2928nn0red 12479 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
30 leloe 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1))))
3127, 29, 30syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1))))
32 nnnn0 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
33 nn0leltp1 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ < (๐‘˜ + 1)))
3432, 33sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ < (๐‘˜ + 1)))
35 nn0p1nn 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
36 nnmulcl 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
3735, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
3837expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
3938adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
40 faccl 14189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
4140nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
4228nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
43 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
44 nnne0 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
4543, 44jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0))
47 div23 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)))
4841, 42, 46, 47syl2an23an 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)))
4948eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) ยท (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•))
5039, 49sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
5150imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5334, 52sylbird 260 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ < (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
5441adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
5543adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5644adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
5754, 55, 56divcan4d 11942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) = (!โ€˜๐‘˜))
5840adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
5957, 58eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„•)
60 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
6160oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
6261eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((!โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
6359, 62syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
6463a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6553, 64jaod 858 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ < (๐‘˜ + 1) โˆจ ๐‘ = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6631, 65sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
6766ex 414 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
6867com34 91 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
6968com12 32 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7069imp4d 426 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
71 facp1 14184 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
7271oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) = (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘))
7372eleq1d 2819 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†” (((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
7470, 73sylibrd 259 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))
7574exp4d 435 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
7675a2d 29 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ๐‘) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค (๐‘˜ + 1) โ†’ ((!โ€˜(๐‘˜ + 1)) / ๐‘) โˆˆ โ„•))))
776, 12, 18, 24, 26, 76nn0ind 12603 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โ‰ค ๐‘€ โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)))
78773imp 1112 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โ‰ค ๐‘€) โ†’ ((!โ€˜๐‘€) / ๐‘) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  !cfa 14179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-seq 13913  df-fac 14180
This theorem is referenced by:  facndiv  14194  eirrlem  16091
  Copyright terms: Public domain W3C validator