Theorem facdiv 14438

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 0))
2		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
3	2	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
4	3	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
5	1, 4	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
10	9	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
11	7, 10	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
16	15	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
17	13, 16	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
20		fveq2 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
21	20	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
22	21	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25		nnnle0 12378	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
26	25	pm2.21d 122	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
27		nnre 12349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
28		peano2nn0 12653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
29	28	nn0red 12675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
30		leloe 11403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
31	27, 29, 30	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
32		nnnn0 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		nn0leltp1 12765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
34	32, 33	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
35		nn0p1nn 12652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
36		nnmulcl 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
37	35, 36	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
38	37	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
40		faccl 14434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
41	40	nncnd 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
42	28	nn0cnd 12676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
43		nncn 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
44		nnne0 12379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
45	43, 44	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
47		div23 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
48	41, 42, 46, 47	syl2an23an 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
49	48	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
50	39, 49	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
51	50	imim2d 58	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
52	51	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
53	34, 52	sylbird 263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
54	41	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
55	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
56	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
57	54, 55, 56	divcan4d 12106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
58	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
59	57, 58	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
60		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
61	60	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
62	61	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
63	59, 62	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
64	63	a1dd 51	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
65	53, 64	jaod 873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
66	31, 65	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
67	66	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
68	67	com34 92	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
69	68	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
70	69	imp4d 430	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
71		facp1 14429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
72	71	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
73	72	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
74	70, 73	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
75	74	exp4d 439	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
76	75	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
77	6, 12, 18, 24, 26, 76	nn0ind 12801	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
78	77	3imp 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   < clt 11350   ≤ cle 11351   / cdiv 11980  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  !cfa 14424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-fac 14425

This theorem is used by:  facndiv  14439  eirrlem  16381