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Theorem facdiv 13697
 Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5036 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁𝑗𝑁 ≤ 0))
2 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
32oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
43eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
51, 4imbi12d 348 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
65imbi2d 344 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7 breq2 5036 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗𝑁𝑘))
8 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
109eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
117, 10imbi12d 348 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1211imbi2d 344 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13 breq2 5036 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑗𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1514oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
1615eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
1713, 16imbi12d 348 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1817imbi2d 344 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19 breq2 5036 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝑁𝑗𝑁𝑀))
20 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
2120oveq1d 7165 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
2221eleq1d 2836 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22imbi12d 348 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
2423imbi2d 344 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25 nnnle0 11707 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
2625pm2.21d 121 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
27 nnre 11681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
28 peano2nn0 11974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
2928nn0red 11995 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
30 leloe 10765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
3127, 29, 30syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
32 nnnn0 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 nn0leltp1 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
3432, 33sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
35 nn0p1nn 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
36 nnmulcl 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
3735, 36sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
3837expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
3938adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
40 faccl 13693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4140nncnd 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4228nn0cnd 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
43 nncn 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
44 nnne0 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4543, 44jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4645adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
47 div23 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((!‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
4841, 42, 46, 47syl2an23an 1420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
4948eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
5039, 49sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
5150imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5334, 52sylbird 263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5441adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
5543adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5644adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
5754, 55, 56divcan4d 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
5840adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5957, 58eqeltrd 2852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
60 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
6160oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
6261eleq1d 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6359, 62syl5ibcom 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6463a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6553, 64jaod 856 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6631, 65sylbid 243 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6766ex 416 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
6867com34 91 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
6968com12 32 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7069imp4d 428 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
71 facp1 13688 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7271oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
7372eleq1d 2836 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7470, 73sylibrd 262 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7574exp4d 437 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7675a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
776, 12, 18, 24, 26, 76nn0ind 12116 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
78773imp 1108 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   / cdiv 11335  ℕcn 11674  ℕ0cn0 11934  !cfa 13683 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-seq 13419  df-fac 13684 This theorem is referenced by:  facndiv  13698  eirrlem  15605
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