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Theorem facdiv 13278
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4813 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁𝑗𝑁 ≤ 0))
2 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
32oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
43eleq1d 2829 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
51, 4imbi12d 335 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
65imbi2d 331 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7 breq2 4813 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗𝑁𝑘))
8 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
109eleq1d 2829 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
117, 10imbi12d 335 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1211imbi2d 331 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13 breq2 4813 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑗𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1514oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
1615eleq1d 2829 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
1713, 16imbi12d 335 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1817imbi2d 331 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19 breq2 4813 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝑁𝑗𝑁𝑀))
20 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
2120oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
2221eleq1d 2829 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22imbi12d 335 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
2423imbi2d 331 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25 nngt0 11306 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
27 nnre 11282 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
28 ltnle 10371 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
2926, 27, 28sylancr 581 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
3025, 29mpbid 223 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
3130pm2.21d 119 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32 peano2nn0 11580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
3332nn0red 11599 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
34 leloe 10378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
3527, 33, 34syl2an 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37 nn0leltp1 11683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
3836, 37sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
39 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40 nnmulcl 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4139, 40sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
4241expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4544nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4732nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
50 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
5149, 50jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
5251adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
53 div23 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((!‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
5446, 48, 52, 53syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
5554eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
5643, 55sylibrd 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
5756imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5938, 58sylbird 251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
6150adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
6246, 60, 61divcan4d 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
6344adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6462, 63eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
65 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
6665oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
6766eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6864, 67syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6968a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
7059, 69jaod 885 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
7135, 70sylbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
7271ex 401 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7372com34 91 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7473com12 32 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7574imp4d 415 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
76 facp1 13269 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7776oveq1d 6857 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
7877eleq1d 2829 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7975, 78sylibrd 250 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
8079exp4d 424 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
8180a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
826, 12, 18, 24, 31, 81nn0ind 11719 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
83823imp 1137 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  !cfa 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-seq 13009  df-fac 13265
This theorem is referenced by:  facndiv  13279  eirrlem  15214
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