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Theorem facdiv 14243
Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
facdiv ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁𝑗𝑁 ≤ 0))
2 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
32oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
43eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
51, 4imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7 breq2 5151 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁𝑗𝑁𝑘))
8 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
98oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
109eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
117, 10imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13 breq2 5151 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁𝑗𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
1514oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
1615eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
1713, 16imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
1817imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19 breq2 5151 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝑁𝑗𝑁𝑀))
20 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
2120oveq1d 7420 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
2221eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
2319, 22imbi12d 344 . . . 4 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
2423imbi2d 340 . . 3 (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25 nnnle0 12241 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
2625pm2.21d 121 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
27 nnre 12215 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
28 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
2928nn0red 12529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
30 leloe 11296 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
3127, 29, 30syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
32 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 nn0leltp1 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
3432, 33sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘𝑁 < (𝑘 + 1)))
35 nn0p1nn 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
36 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
3735, 36sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
3837expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
40 faccl 14239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
4140nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
4228nn0cnd 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
43 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
44 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
4543, 44jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
47 div23 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((!‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
4841, 42, 46, 47syl2an23an 1423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
4948eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
5039, 49sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
5150imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑘 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5334, 52sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
5441adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
5543adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5644adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
5754, 55, 56divcan4d 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
5840adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5957, 58eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
60 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
6160oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
6261eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6359, 62syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
6463a1dd 50 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6553, 64jaod 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6631, 65sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6766ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
6867com34 91 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
6968com12 32 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7069imp4d 425 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
71 facp1 14234 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
7271oveq1d 7420 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
7372eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7470, 73sylibrd 258 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
7574exp4d 434 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7675a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
776, 12, 18, 24, 26, 76nn0ind 12653 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
78773imp 1111 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  !cfa 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-fac 14230
This theorem is referenced by:  facndiv  14244  eirrlem  16143
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