Theorem fden 15937

Description: Canonical denominator defines a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fden	⊢ denom:ℚ⟶ℕ

Proof of Theorem fden

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-denom 15930	. 2 ⊢ denom = (𝑎 ∈ ℚ ↦ (2nd ‘(℩𝑏 ∈ (ℤ × ℕ)(((1st ‘𝑏) gcd (2nd ‘𝑏)) = 1 ∧ 𝑎 = ((1st ‘𝑏) / (2nd ‘𝑏))))))
2		qdenval 15932	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (denom‘𝑎) = (2nd ‘(℩𝑏 ∈ (ℤ × ℕ)(((1st ‘𝑏) gcd (2nd ‘𝑏)) = 1 ∧ 𝑎 = ((1st ‘𝑏) / (2nd ‘𝑏))))))
3		qdencl 15935	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (denom‘𝑎) ∈ ℕ)
4	2, 3	eqeltrrd 2860	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ ℚ → (2nd ‘(℩𝑏 ∈ (ℤ × ℕ)(((1st ‘𝑏) gcd (2nd ‘𝑏)) = 1 ∧ 𝑎 = ((1st ‘𝑏) / (2nd ‘𝑏))))) ∈ ℕ)
5	1, 4	fmpti 6697	1 ⊢ denom:ℚ⟶ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   × cxp 5401  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  ℩crio 6934  (class class class)co 6974  1^st c1st 7497  2^nd c2nd 7498  1c1 10334   / cdiv 11096  ℕcn 11437  ℤcz 11791  ℚcq 12160   gcd cgcd 15701  denomcdenom 15928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-numer 15929  df-denom 15930

This theorem is referenced by: (None)