Theorem fiminreOLD 11391

Description: Obsolete version of fiminre 11389 as of 3-Jun-2023. A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 11385. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fiminreOLD	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminreOLD

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3947	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2		negfi 11390	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
3	2	3adant3 1112	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
4		negn0 10870	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
5	4	3adant2 1111	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6		fimaxre 11385	. . 3 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
7	1, 3, 5, 6	mp3an2i 1445	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
8		negeq 10678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
9	8	eleq1d 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ -𝑛 ∈ 𝐴))
10	9	elrab 3596	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴))
11		simpllr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → -𝑛 ∈ 𝐴)
12		breq1 4932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
13	12	ralbidv 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
14	13	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
15		negeq 10678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
16	15	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
17		ssel 3853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
18		renegcl 10750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
19	17, 18	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
20	19	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
21	20	imp 398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
22	17	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
23		recn 10425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ))
25	24	imp 398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
26	25	negnegd 10789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 ∈ 𝐴)
29	16, 21, 28	elrabd 3599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴})
30		breq1 4932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = -𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ -𝑦 ≤ 𝑛))
31	30	rspcv 3532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
33	22	imp 398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
34		simplll 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
35		lenegcon1 10945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
36	33, 34, 35	syl2anc 576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
37	32, 36	sylibd 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑛 ≤ 𝑦))
38	37	impancom 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑛 ≤ 𝑦))
39	38	ralrimiv 3132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦)
40	11, 14, 39	rspcedvd 3543	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	exp31 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
42	10, 41	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
43	42	impcom 399	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
44	43	rexlimdva 3230	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
45	44	3ad2ant1 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
46	7, 45	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179   class class class wbr 4929  Fincfn 8306  ℂcc 10333  ℝcr 10334   ≤ cle 10475  -cneg 10671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673

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