Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiminreOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiminreOLD 11391
 Description: Obsolete version of fiminre 11389 as of 3-Jun-2023. A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 11385. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fiminreOLD ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminreOLD
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3947 . . 3 {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ
2 negfi 11390 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin)
323adant3 1112 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin)
4 negn0 10870 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅)
543adant2 1111 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅)
6 fimaxre 11385 . . 3 (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛)
71, 3, 5, 6mp3an2i 1445 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛)
8 negeq 10678 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
98eleq1d 2851 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟𝐴 ↔ -𝑛𝐴))
109elrab 3596 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴))
11 simpllr 763 . . . . . . . 8 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → -𝑛𝐴)
12 breq1 4932 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝑛 → (𝑥𝑦 ↔ -𝑛𝑦))
1312ralbidv 3148 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦))
1413adantl 474 . . . . . . . 8 (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦))
15 negeq 10678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
1615eleq1d 2851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
17 ssel 3853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
18 renegcl 10750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
1917, 18syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
2019adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
2120imp 398 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
2217adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℝ))
23 recn 10425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℂ))
2524imp 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
2625negnegd 10789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2826, 27eqeltrd 2867 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → --𝑦𝐴)
2916, 21, 28elrabd 3599 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴})
30 breq1 4932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = -𝑦 → (𝑚𝑛 ↔ -𝑦𝑛))
3130rspcv 3532 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑦𝑛))
3229, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑦𝑛))
3322imp 398 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
34 simplll 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
35 lenegcon1 10945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦𝑛 ↔ -𝑛𝑦))
3633, 34, 35syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (-𝑦𝑛 ↔ -𝑛𝑦))
3732, 36sylibd 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → -𝑛𝑦))
3837impancom 444 . . . . . . . . 9 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → (𝑦𝐴 → -𝑛𝑦))
3938ralrimiv 3132 . . . . . . . 8 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → ∀𝑦𝐴 -𝑛𝑦)
4011, 14, 39rspcedvd 3543 . . . . . . 7 ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
4140exp31 412 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4210, 41sylbi 209 . . . . 5 (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)))
4342impcom 399 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
4443rexlimdva 3230 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
45443ad2ant1 1113 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟𝐴}𝑚𝑛 → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
467, 45mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179   class class class wbr 4929  Fincfn 8306  ℂcc 10333  ℝcr 10334   ≤ cle 10475  -cneg 10671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator