Theorem fiminreOLD 11590

Description: Obsolete version of fiminre 11588 as of 3-Jun-2023. A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 11584. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fiminreOLD	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminreOLD

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4056	. . 3 ⊢ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ
2		negfi 11589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
3	2	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin)
4		negn0 11069	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
5	4	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅)
6		fimaxre 11584	. . 3 ⊢ (({𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
7	1, 3, 5, 6	mp3an2i 1462	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛)
8		negeq 10878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → -𝑟 = -𝑛)
9	8	eleq1d 2897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑛 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ -𝑛 ∈ 𝐴))
10	9	elrab 3680	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴))
11		simpllr 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → -𝑛 ∈ 𝐴)
12		breq1 5069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
13	12	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = -𝑛 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
14	13	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) ∧ 𝑥 = -𝑛) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦))
15		negeq 10878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → -𝑟 = --𝑦)
16	15	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = -𝑦 → (-𝑟 ∈ 𝐴 ↔ --𝑦 ∈ 𝐴))
17		ssel 3961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
18		renegcl 10949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
19	17, 18	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
20	19	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑦 ∈ ℝ))
21	20	imp 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ ℝ)
22	17	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
23		recn 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
24	22, 23	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ))
25	24	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
26	25	negnegd 10988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 = 𝑦)
27		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	26, 27	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → --𝑦 ∈ 𝐴)
29	16, 21, 28	elrabd 3682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴})
30		breq1 5069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = -𝑦 → (𝑚 ≤ 𝑛 ↔ -𝑦 ≤ 𝑛))
31	30	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝑦 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑦 ≤ 𝑛))
33	22	imp 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
34		simplll 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
35		lenegcon1 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
36	33, 34, 35	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-𝑦 ≤ 𝑛 ↔ -𝑛 ≤ 𝑦))
37	32, 36	sylibd 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → -𝑛 ≤ 𝑦))
38	37	impancom 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → (𝑦 ∈ 𝐴 → -𝑛 ≤ 𝑦))
39	38	ralrimiv 3181	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 -𝑛 ≤ 𝑦)
40	11, 14, 39	rspcedvd 3626	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ ∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
41	40	exp31 422	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ -𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
42	10, 41	sylbi 219	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴} → (𝐴 ⊆ ℝ → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)))
43	42	impcom 410	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}) → (∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
44	43	rexlimdva 3284	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
45	44	3ad2ant1 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑛 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}∀𝑚 ∈ {𝑟 ∈ ℝ ∣ -𝑟 ∈ 𝐴}𝑚 ≤ 𝑛 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
46	7, 45	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5066  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536   ≤ cle 10676  -cneg 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873

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