Theorem fldextrspundgdvds 33669

Description: Given two finite extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, the degree of the extension 𝐼 / 𝐾 divides the degree of the extension 𝐸 / 𝐾, 𝐸 being the composite field 𝐼𝐽. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvds	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Proof of Theorem fldextrspundgdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextrspun.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
2		fldextrspun.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspun.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
4		fldextrspun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
6		fldextrspun.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
7		fldextrspun.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
8		fldextrspun.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
9		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
10		fldextrspundglemul.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
11		fldextrspundgledvds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	fldextrspundgdvdslem 33668	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ)
14	11	nnzd 12532	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	4	flddrngd 20661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
17	15	sdrgss 20713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
19	15	sdrgss 20713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
21	18, 20	unssd 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
22	15, 16, 21	fldgensdrg 33280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
23		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
25		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunlem2 33665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
27	26	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
28	10, 27	eqtr4id 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunfld 33664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
30	28, 29	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
31	30	flddrngd 20661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
32	31	drngringd 20657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
33	10	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
34		ovexd 7404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	35	sdrgss 20713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
38	2, 15	ressbas2 17184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
39	18, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
40	37, 39	sseqtrrd 3981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
41		ssun1 4137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
43	40, 42	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
44	15, 16, 21	fldgenssid 33279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
45	43, 44	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
46		ressabs 17194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
47	34, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
48	33, 47	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
49	2	oveq1i 7379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
50		ressabs 17194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
51	7, 40, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
52	49, 51	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
53	48, 52	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
54		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
55	54	sdrgdrng 20710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
56	5, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
57	53, 56	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
58	57	drngringd 20657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
59	15, 16, 21	fldgenssv 33281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
60	10, 15	ressbas2 17184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
62	45, 61	sseqtrd 3980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
63	16	drngringd 20657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
64	42, 44	sstrd 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
65		sdrgsubrg 20711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
66		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
67	66	subrg1cl 20500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
68	7, 65, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
69	64, 68	sseldd 3944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
70	10, 15, 66	ress1r 33201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
71	63, 69, 59, 70	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
72	2, 15, 66	ress1r 33201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
73	63, 68, 18, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
74	71, 73	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
75		sdrgsubrg 20711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
76		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
77	76	subrg1cl 20500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
78	5, 75, 77	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
79	74, 78	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
80		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
81		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
82	80, 81	issubrg 20491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
83	32, 58, 62, 79, 82	syl22anbrc 32434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
84		issdrg 20708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
85	31, 83, 57, 84	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
86	10, 4, 22, 85, 1	fldsdrgfldext2 33651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
87		extdgcl 33645	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
88	86, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
89	11	nnnn0d 12479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
90	89, 9	nn0mulcld 12484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	fldextrspundglemul 33667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
92	11	nnred 12177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
93	9	nn0red 12480	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
94		rexmul 13207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
95	92, 93, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
96	91, 95	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
97		xnn0lenn0nn0 13181	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
98	88, 90, 96, 97	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
99	98	nn0zd 12531	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ)
100	15, 2, 10, 4, 7, 20	fldgenfldext 33656	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
101	2, 4, 7, 5, 1	fldsdrgfldext2 33651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
102		extdgmul 33652	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
103	100, 101, 102	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
104	12	nn0red 12480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ)
105		rexmul 13207	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
106	104, 92, 105	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
107	103, 106	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾))
108		dvds0lem 16212	. 2 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ) ∧ ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾)) → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))
109	13, 14, 99, 107, 108	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   · cmul 11049   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℕ₀^*cxnn0 12491  ℤcz 12505   ·_e cxmu 13047   ∥ cdvds 16198  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20489  RingSpancrgspn 20530  DivRingcdr 20649  Fieldcfield 20650  SubDRingcsdrg 20706   fldGen cfldgen 33276  /_FldExtcfldext 33627  [:]cextdg 33629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-reg 9521  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-rpss 7679  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-r1 9693  df-rank 9694  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-ac 10045  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-word 14455  df-lsw 14504  df-concat 14512  df-s1 14537  df-substr 14582  df-pfx 14612  df-s2 14790  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629  df-dvds 16199  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ocomp 17217  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-mri 17525  df-acs 17526  df-proset 18235  df-drs 18236  df-poset 18254  df-ipo 18469  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cntr 19232  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-nzr 20433  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rgspn 20531  df-rlreg 20614  df-domn 20615  df-idom 20616  df-drng 20651  df-field 20652  df-sdrg 20707  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lmhm 20961  df-lmim 20962  df-lbs 21014  df-lvec 21042  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-cnfld 21297  df-zring 21389  df-dsmm 21674  df-frlm 21689  df-uvc 21725  df-lindf 21748  df-linds 21749  df-assa 21795  df-ind 32824  df-fldgen 33277  df-dim 33588  df-fldext 33630  df-extdg 33631

This theorem is referenced by:  fldext2rspun  33670