Theorem fldextrspundgdvds 33731

Description: Given two finite extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, the degree of the extension 𝐼 / 𝐾 divides the degree of the extension 𝐸 / 𝐾, 𝐸 being the composite field 𝐼𝐽. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvds	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Proof of Theorem fldextrspundgdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextrspun.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
2		fldextrspun.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspun.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
4		fldextrspun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
6		fldextrspun.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
7		fldextrspun.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
8		fldextrspun.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
9		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
10		fldextrspundglemul.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
11		fldextrspundgledvds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	fldextrspundgdvdslem 33730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12639	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ)
14	11	nnzd 12640	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ)
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	4	flddrngd 20741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
17	15	sdrgss 20794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
19	15	sdrgss 20794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
21	18, 20	unssd 4192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
22	15, 16, 21	fldgensdrg 33316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
23		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunlem2 33727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
27	26	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
28	10, 27	eqtr4id 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunfld 33726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
30	28, 29	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
31	30	flddrngd 20741	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
32	31	drngringd 20737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
33	10	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
34		ovexd 7466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	35	sdrgss 20794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
38	2, 15	ressbas2 17283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
39	18, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
40	37, 39	sseqtrrd 4021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
41		ssun1 4178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
43	40, 42	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
44	15, 16, 21	fldgenssid 33315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
45	43, 44	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
46		ressabs 17294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
47	34, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
48	33, 47	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
49	2	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
50		ressabs 17294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
51	7, 40, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
52	49, 51	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
53	48, 52	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
55	54	sdrgdrng 20791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
56	5, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
57	53, 56	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
58	57	drngringd 20737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
59	15, 16, 21	fldgenssv 33317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
60	10, 15	ressbas2 17283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
62	45, 61	sseqtrd 4020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
63	16	drngringd 20737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
64	42, 44	sstrd 3994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
65		sdrgsubrg 20792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
66		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
67	66	subrg1cl 20580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
68	7, 65, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
69	64, 68	sseldd 3984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
70	10, 15, 66	ress1r 33238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
71	63, 69, 59, 70	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
72	2, 15, 66	ress1r 33238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
73	63, 68, 18, 72	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
74	71, 73	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
75		sdrgsubrg 20792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
76		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
77	76	subrg1cl 20580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
78	5, 75, 77	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
79	74, 78	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
80		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
81		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
82	80, 81	issubrg 20571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
83	32, 58, 62, 79, 82	syl22anbrc 32474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
84		issdrg 20789	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
85	31, 83, 57, 84	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
86	10, 4, 22, 85, 1	fldsdrgfldext2 33713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
87		extdgcl 33707	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
88	86, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
89	11	nnnn0d 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
90	89, 9	nn0mulcld 12592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	fldextrspundglemul 33729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
92	11	nnred 12281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
93	9	nn0red 12588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
94		rexmul 13313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
95	92, 93, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
96	91, 95	breqtrd 5169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
97		xnn0lenn0nn0 13287	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
98	88, 90, 96, 97	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
99	98	nn0zd 12639	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ)
100	15, 2, 10, 4, 7, 20	fldgenfldext 33718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
101	2, 4, 7, 5, 1	fldsdrgfldext2 33713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
102		extdgmul 33714	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
103	100, 101, 102	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
104	12	nn0red 12588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ)
105		rexmul 13313	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
106	104, 92, 105	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
107	103, 106	eqtr2d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾))
108		dvds0lem 16304	. 2 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ) ∧ ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾)) → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))
109	13, 14, 99, 107, 108	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   · cmul 11160   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℕ₀^*cxnn0 12599  ℤcz 12613   ·_e cxmu 13153   ∥ cdvds 16290  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  RingSpancrgspn 20610  DivRingcdr 20729  Fieldcfield 20730  SubDRingcsdrg 20787   fldGen cfldgen 33312  /_FldExtcfldext 33689  [:]cextdg 33692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-s2 14887  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cntr 19336  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rgspn 20611  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-sdrg 20788  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lmim 21022  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-lindf 21826  df-linds 21827  df-assa 21873  df-ind 32836  df-fldgen 33313  df-dim 33650  df-fldext 33693  df-extdg 33694

This theorem is referenced by:  fldext2rspun  33732