Theorem fldextrspundgdvds 34232

Description: Given two finite extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, the degree of the extension 𝐼 / 𝐾 divides the degree of the extension 𝐸 / 𝐾, 𝐸 being the composite field 𝐼𝐽. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvds	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Proof of Theorem fldextrspundgdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextrspun.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
2		fldextrspun.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspun.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
4		fldextrspun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
6		fldextrspun.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
7		fldextrspun.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
8		fldextrspun.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
9		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
10		fldextrspundglemul.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
11		fldextrspundgledvds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	fldextrspundgdvdslem 34231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ)
14	11	nnzd 12674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ)
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	4	flddrngd 20941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
17	15	sdrgss 20997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
18	7, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
19	15	sdrgss 20997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
20	8, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
21	18, 20	unssd 4138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
22	15, 16, 21	fldgensdrg 33795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
24		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
25		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunlem2 34228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
27	26	oveq2d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
28	10, 27	eqtr4id 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunfld 34227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
30	28, 29	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
31	30	flddrngd 20941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
32	31	drngringd 20935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
33	10	oveq1i 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
34		ovexd 7444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
35		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	35	sdrgss 20997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
37	5, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
38	2, 15	ressbas2 17363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
39	18, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
40	37, 39	sseqtrrd 3968	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
41		ssun1 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
43	40, 42	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
44	15, 16, 21	fldgenssid 33794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
45	43, 44	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
46		ressabs 17373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
47	34, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
48	33, 47	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
49	2	oveq1i 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
50		ressabs 17373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
51	7, 40, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
52	49, 51	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
53	48, 52	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
54		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
55	54	sdrgdrng 20994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
56	5, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
57	53, 56	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
58	57	drngringd 20935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
59	15, 16, 21	fldgenssv 33796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
60	10, 15	ressbas2 17363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
62	45, 61	sseqtrd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
63	16	drngringd 20935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
64	42, 44	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
65		sdrgsubrg 20995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
66		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
67	66	subrg1cl 20779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
68	7, 65, 67	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
69	64, 68	sseldd 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
70	10, 15, 66	ress1r 33712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
71	63, 69, 59, 70	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
72	2, 15, 66	ress1r 33712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
73	63, 68, 18, 72	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
74	71, 73	eqtr3d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
75		sdrgsubrg 20995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
76		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
77	76	subrg1cl 20779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
78	5, 75, 77	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
79	74, 78	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
80		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
81		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
82	80, 81	issubrg 20770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
83	32, 58, 62, 79, 82	syl22anbrc 32975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
84		issdrg 20992	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
85	31, 83, 57, 84	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
86	10, 4, 22, 85, 1	fldsdrgfldext2 34213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
87		extdgcl 34207	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
88	86, 87	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
89	11	nnnn0d 12622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
90	89, 9	nn0mulcld 12627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	fldextrspundglemul 34230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
92	11	nnred 12305	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
93	9	nn0red 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
94		rexmul 13356	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
95	92, 93, 94	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
96	91, 95	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
97		xnn0lenn0nn0 13330	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
98	88, 90, 96, 97	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
99	98	nn0zd 12673	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ)
100	15, 2, 10, 4, 7, 20	fldgenfldext 34219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
101	2, 4, 7, 5, 1	fldsdrgfldext2 34213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
102		extdgmul 34214	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
103	100, 101, 102	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
104	12	nn0red 12623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ)
105		rexmul 13356	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
106	104, 92, 105	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
107	103, 106	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾))
108		dvds0lem 16389	. 2 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ) ∧ ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾)) → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))
109	13, 14, 99, 107, 108	syl31anc 1400	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156   · cmul 11162   ≤ cle 11301  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ℕ₀^*cxnn0 12634  ℤcz 12648   ·_e cxmu 13195   ∥ cdvds 16375  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  SubRingcsubrg 20768  RingSpancrgspn 20809  DivRingcdr 20927  Fieldcfield 20928  SubDRingcsdrg 20990   fldGen cfldgen 33791  /_FldExtcfldext 34189  [:]cextdg 34191

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10498  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-rpss 7723  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9886  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10152  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-ind 12276  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-xnn0 12635  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-word 14612  df-lsw 14661  df-concat 14669  df-s1 14696  df-substr 14742  df-pfx 14774  df-s2 14952  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807  df-dvds 16376  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ocomp 17396  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-mri 17705  df-acs 17706  df-proset 18415  df-drs 18416  df-poset 18434  df-ipo 18649  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cntr 19479  df-lsm 19797  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-dvdsr 20534  df-unit 20535  df-invr 20565  df-dvr 20578  df-nzr 20710  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-rgspn 20810  df-rlreg 20893  df-domn 20894  df-idom 20895  df-drng 20929  df-field 20930  df-sdrg 20991  df-lmod 21084  df-lss 21154  df-lsp 21194  df-lmhm 21244  df-lmim 21245  df-lbs 21297  df-lvec 21325  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-cnfld 21626  df-zring 21700  df-dsmm 21985  df-frlm 22000  df-uvc 22036  df-lindf 22059  df-linds 22060  df-assa 22108  df-fldgen 33792  df-dim 34151  df-fldext 34192  df-extdg 34193

This theorem is used by:  fldext2rspun  34233