Theorem fldextrspundgdvds 34380

Description: Given two finite extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, the degree of the extension 𝐼 / 𝐾 divides the degree of the extension 𝐸 / 𝐾, 𝐸 being the composite field 𝐼𝐽. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvds	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Proof of Theorem fldextrspundgdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextrspun.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
2		fldextrspun.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspun.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
4		fldextrspun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
6		fldextrspun.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
7		fldextrspun.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
8		fldextrspun.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
9		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
10		fldextrspundglemul.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
11		fldextrspundgledvds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	fldextrspundgdvdslem 34379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ)
14	11	nnzd 12743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ)
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	4	flddrngd 21021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
17	15	sdrgss 21077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
18	7, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
19	15	sdrgss 21077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
20	8, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
21	18, 20	unssd 4193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
22	15, 16, 21	fldgensdrg 33943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
23		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
24		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
25		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunlem2 34376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
27	26	oveq2d 7456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
28	10, 27	eqtr4id 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunfld 34375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
30	28, 29	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
31	30	flddrngd 21021	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
32	31	drngringd 21015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
33	10	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
34		ovexd 7475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	35	sdrgss 21077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
37	5, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
38	2, 15	ressbas2 17442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
39	18, 38	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
40	37, 39	sseqtrrd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
41		ssun1 4179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
43	40, 42	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
44	15, 16, 21	fldgenssid 33942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
45	43, 44	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
46		ressabs 17452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
47	34, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
48	33, 47	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
49	2	oveq1i 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
50		ressabs 17452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
51	7, 40, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
52	49, 51	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
53	48, 52	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
55	54	sdrgdrng 21074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
56	5, 55	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
57	53, 56	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
58	57	drngringd 21015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
59	15, 16, 21	fldgenssv 33944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
60	10, 15	ressbas2 17442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
61	59, 60	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
62	45, 61	sseqtrd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
63	16	drngringd 21015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
64	42, 44	sstrd 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
65		sdrgsubrg 21075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
67	66	subrg1cl 20859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
68	7, 65, 67	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
69	64, 68	sseldd 3914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
70	10, 15, 66	ress1r 33860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
71	63, 69, 59, 70	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
72	2, 15, 66	ress1r 33860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
73	63, 68, 18, 72	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
74	71, 73	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
75		sdrgsubrg 21075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
76		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
77	76	subrg1cl 20859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
78	5, 75, 77	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
79	74, 78	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
80		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
81		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
82	80, 81	issubrg 20850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
83	32, 58, 62, 79, 82	syl22anbrc 33125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
84		issdrg 21072	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
85	31, 83, 57, 84	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
86	10, 4, 22, 85, 1	fldsdrgfldext2 34361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
87		extdgcl 34355	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
88	86, 87	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
89	11	nnnn0d 12691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
90	89, 9	nn0mulcld 12696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	fldextrspundglemul 34378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
92	11	nnred 12374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
93	9	nn0red 12692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
94		rexmul 13425	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
95	92, 93, 94	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
96	91, 95	breqtrd 5134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
97		xnn0lenn0nn0 13399	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
98	88, 90, 96, 97	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
99	98	nn0zd 12742	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ)
100	15, 2, 10, 4, 7, 20	fldgenfldext 34367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
101	2, 4, 7, 5, 1	fldsdrgfldext2 34361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
102		extdgmul 34362	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
103	100, 101, 102	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
104	12	nn0red 12692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ)
105		rexmul 13425	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
106	104, 92, 105	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
107	103, 106	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾))
108		dvds0lem 16462	. 2 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ) ∧ ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾)) → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))
109	13, 14, 99, 107, 108	syl31anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   · cmul 11229   ≤ cle 11368  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℕ₀^*cxnn0 12703  ℤcz 12717   ·_e cxmu 13264   ∥ cdvds 16448  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  SubRingcsubrg 20848  RingSpancrgspn 20889  DivRingcdr 21007  Fieldcfield 21008  SubDRingcsdrg 21070   fldGen cfldgen 33939  /_FldExtcfldext 34337  [:]cextdg 34339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-ac2 10565  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-rpss 7760  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-acn 10047  df-ac 10219  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-ind 12345  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-word 14683  df-lsw 14732  df-concat 14740  df-s1 14767  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-s2 15024  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-dvds 16449  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ocomp 17475  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-mri 17784  df-acs 17785  df-proset 18494  df-drs 18495  df-poset 18513  df-ipo 18728  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cntr 19559  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-nzr 20790  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-rgspn 20890  df-rlreg 20973  df-domn 20974  df-idom 20975  df-drng 21009  df-field 21010  df-sdrg 21071  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lmhm 21324  df-lmim 21325  df-lbs 21377  df-lvec 21405  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-uvc 22116  df-lindf 22139  df-linds 22140  df-assa 22188  df-fldgen 33940  df-dim 34299  df-fldext 34340  df-extdg 34341

This theorem is used by:  fldext2rspun  34381