Theorem fldextrspundgdvds 33980

Description: Given two finite extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, the degree of the extension 𝐼 / 𝐾 divides the degree of the extension 𝐸 / 𝐾, 𝐸 being the composite field 𝐼𝐽. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvds	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Proof of Theorem fldextrspundgdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldextrspun.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
2		fldextrspun.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspun.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
4		fldextrspun.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
6		fldextrspun.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
7		fldextrspun.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
8		fldextrspun.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
9		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
10		fldextrspundglemul.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
11		fldextrspundgledvds.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	fldextrspundgdvdslem 33979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)
13	12	nn0zd 12595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ)
14	11	nnzd 12596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ)
15		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
16	4	flddrngd 20793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
17	15	sdrgss 20844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
18	7, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
19	15	sdrgss 20844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
20	8, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
21	18, 20	unssd 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
22	15, 16, 21	fldgensdrg 33503	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
23		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
24		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
25		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunlem2 33976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
27	26	oveq2d 7414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
28	10, 27	eqtr4id 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 23, 24, 25	fldextrspunfld 33975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
30	28, 29	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
31	30	flddrngd 20793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
32	31	drngringd 20789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
33	10	oveq1i 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
34		ovexd 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
35		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	35	sdrgss 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
38	2, 15	ressbas2 17276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
39	18, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
40	37, 39	sseqtrrd 3975	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
41		ssun1 4132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
43	40, 42	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
44	15, 16, 21	fldgenssid 33502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
45	43, 44	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
46		ressabs 17286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
47	34, 45, 46	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
48	33, 47	eqtrid 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
49	2	oveq1i 7408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
50		ressabs 17286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
51	7, 40, 50	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
52	49, 51	eqtrid 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
53	48, 52	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
54		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
55	54	sdrgdrng 20841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
56	5, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
57	53, 56	eqeltrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
58	57	drngringd 20789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
59	15, 16, 21	fldgenssv 33504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
60	10, 15	ressbas2 17276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
62	45, 61	sseqtrd 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
63	16	drngringd 20789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
64	42, 44	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
65		sdrgsubrg 20842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
66		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
67	66	subrg1cl 20632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
68	7, 65, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
69	64, 68	sseldd 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
70	10, 15, 66	ress1r 33415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
71	63, 69, 59, 70	syl3anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
72	2, 15, 66	ress1r 33415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
73	63, 68, 18, 72	syl3anc 1392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
74	71, 73	eqtr3d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
75		sdrgsubrg 20842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
76		eqid 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
77	76	subrg1cl 20632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
78	5, 75, 77	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
79	74, 78	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
80		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
81		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
82	80, 81	issubrg 20623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
83	32, 58, 62, 79, 82	syl22anbrc 32659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
84		issdrg 20839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
85	31, 83, 57, 84	syl3anbrc 1358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
86	10, 4, 22, 85, 1	fldsdrgfldext2 33961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
87		extdgcl 33955	. . . . 5 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
88	86, 87	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
89	11	nnnn0d 12544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
90	89, 9	nn0mulcld 12549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
91	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	fldextrspundglemul 33978	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
92	11	nnred 12227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
93	9	nn0red 12545	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
94		rexmul 13276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
95	92, 93, 94	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
96	91, 95	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
97		xnn0lenn0nn0 13250	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
98	88, 90, 96, 97	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
99	98	nn0zd 12595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ)
100	15, 2, 10, 4, 7, 20	fldgenfldext 33967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
101	2, 4, 7, 5, 1	fldsdrgfldext2 33961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
102		extdgmul 33962	. . . 4 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
103	100, 101, 102	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
104	12	nn0red 12545	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ)
105		rexmul 13276	. . . 4 ⊢ (((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
106	104, 92, 105	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)))
107	103, 106	eqtr2d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾))
108		dvds0lem 16302	. 2 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝐼[:]𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐸[:]𝐾) ∈ ℤ) ∧ ((𝐸[:]𝐼) · (𝐼[:]𝐾)) = (𝐸[:]𝐾)) → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))
109	13, 14, 99, 107, 108	syl31anc 1394	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∥ (𝐸[:]𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℝcr 11074   · cmul 11080   ≤ cle 11219  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ℕ₀^*cxnn0 12556  ℤcz 12570   ·_e cxmu 13115   ∥ cdvds 16288  Basecbs 17247   ↾_s cress 17268  1_rcur 20233  Ringcrg 20285  SubRingcsubrg 20621  RingSpancrgspn 20662  DivRingcdr 20781  Fieldcfield 20782  SubDRingcsdrg 20837   fldGen cfldgen 33499  /_FldExtcfldext 33937  [:]cextdg 33939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-rpss 7708  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10074  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-ind 12198  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-word 14529  df-lsw 14578  df-concat 14586  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-s2 14863  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-sum 15716  df-dvds 16289  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ocomp 17309  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-prds 17478  df-pws 17480  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-mri 17618  df-acs 17619  df-proset 18328  df-drs 18329  df-poset 18347  df-ipo 18562  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-ghm 19256  df-cntz 19359  df-cntr 19360  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-nzr 20565  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-rgspn 20663  df-rlreg 20746  df-domn 20747  df-idom 20748  df-drng 20783  df-field 20784  df-sdrg 20838  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lmhm 21091  df-lmim 21092  df-lbs 21144  df-lvec 21172  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-dsmm 21786  df-frlm 21801  df-uvc 21837  df-lindf 21860  df-linds 21861  df-assa 21907  df-fldgen 33500  df-dim 33899  df-fldext 33940  df-extdg 33941

This theorem is referenced by:  fldext2rspun  33981