Theorem fldextrspundgdvdslem 34017

Description: Lemma for fldextrspundgdvds 34018. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvdslem	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fldextrspundgdvdslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 20876	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 34005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 33993	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
12		elxnn0 12581	. . 3 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* ↔ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
14		fldextrspun.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
15		fldextrspun.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	2, 4, 5, 14, 15	fldsdrgfldext2 33999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
17		extdgmul 34000	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
18	9, 16, 17	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
20		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐼) = +∞)
21	20	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)))
22		fldextrspundgledvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
26	22	nngt0d 12287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼[:]𝐾))
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → 0 < (𝐼[:]𝐾))
28		xmulpnf2 13303	. . . . 5 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐼[:]𝐾)) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
29	25, 27, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
30	19, 21, 29	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = +∞)
31	4	flddrngd 20827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
32	1	sdrgss 20876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
33	5, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
34	33, 8	unssd 4153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
35	1, 31, 34	fldgensdrg 33580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
36		fldextrspun.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
37		fldextrspun.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
38		fldextrspundglemul.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
39		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
40		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
41		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
42	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunlem2 34014	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
44	3, 43	eqtr4id 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
45	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunfld 34013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
46	44, 45	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
47	46	flddrngd 20827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
48	47	drngringd 20823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
49	3	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
50		ovexd 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
51		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
52	51	sdrgss 20876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
53	14, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
54	2, 1	ressbas2 17300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
55	33, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
56	53, 55	sseqtrrd 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
57		ssun1 4139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
59	56, 58	sstrd 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
60	1, 31, 34	fldgenssid 33579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
61	59, 60	sstrd 3955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
62		ressabs 17310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
63	50, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
64	49, 63	eqtrid 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
65	2	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
66		ressabs 17310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
67	5, 56, 66	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
68	65, 67	eqtrid 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
69	64, 68	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
70		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
71	70	sdrgdrng 20873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
72	14, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
73	69, 72	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
74	73	drngringd 20823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
75	1, 31, 34	fldgenssv 33581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
76	3, 1	ressbas2 17300	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
78	61, 77	sseqtrd 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
79	31	drngringd 20823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
80	58, 60	sstrd 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
81		sdrgsubrg 20874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
82		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
83	82	subrg1cl 20667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
84	5, 81, 83	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
85	80, 84	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
86	3, 1, 82	ress1r 33495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
87	79, 85, 75, 86	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
88	2, 1, 82	ress1r 33495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
89	79, 84, 33, 88	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
90	87, 89	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
91		sdrgsubrg 20874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
92		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
93	92	subrg1cl 20667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
94	14, 91, 93	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
95	90, 94	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
96		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
97		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
98	96, 97	issubrg 20658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
99	48, 74, 78, 95, 98	syl22anbrc 32749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
100		issdrg 20871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
101	47, 99, 73, 100	syl3anbrc 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
102	3, 4, 35, 101, 15	fldsdrgfldext2 33999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
103		extdgcl 33993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
105	22	nnnn0d 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
106	105, 38	nn0mulcld 12572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
107	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 3	fldextrspundglemul 34016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
108	38	nn0red 12568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
109		rexmul 13299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
110	23, 108, 109	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
111	107, 110	breqtrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
112		xnn0lenn0nn0 13273	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
113	104, 106, 111, 112	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
114	113	nn0red 12568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
115	114	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
116	115	renepnfd 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ≠ +∞)
117	116	neneqd 2969	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ¬ (𝐸[:]𝐾) = +∞)
118	30, 117	pm2.65da 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐸[:]𝐼) = +∞)
119	13, 118	olcnd 890	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℝcr 11101  0cc0 11102   · cmul 11107  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246  ℕcn 12235  ℕ₀cn0 12506  ℕ₀^*cxnn0 12579   ·_e cxmu 13138  Basecbs 17271   ↾_s cress 17292  1_rcur 20265  Ringcrg 20317  SubRingcsubrg 20656  RingSpancrgspn 20697  DivRingcdr 20815  Fieldcfield 20816  SubDRingcsdrg 20869   fldGen cfldgen 33576  /_FldExtcfldext 33975  [:]cextdg 33977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-reg 9556  ax-inf2 9612  ax-ac2 10449  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-rpss 7723  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-r1 9738  df-rank 9739  df-dju 9889  df-card 9927  df-acn 9930  df-ac 10102  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-ind 12221  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-s2 14887  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ocomp 17333  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-mri 17642  df-acs 17643  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cntr 19390  df-lsm 19708  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-oppr 20421  df-dvdsr 20441  df-unit 20442  df-invr 20472  df-dvr 20485  df-nzr 20598  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-rgspn 20698  df-rlreg 20781  df-domn 20782  df-idom 20783  df-drng 20817  df-field 20818  df-sdrg 20870  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-lmhm 21123  df-lmim 21124  df-lbs 21176  df-lvec 21204  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-cnfld 21494  df-zring 21568  df-dsmm 21853  df-frlm 21868  df-uvc 21904  df-lindf 21927  df-linds 21928  df-assa 21974  df-fldgen 33577  df-dim 33937  df-fldext 33978  df-extdg 33979

This theorem is referenced by:  fldextrspundgdvds  34018  fldext2rspun  34019