Theorem fldextrspundgdvdslem 33693

Description: Lemma for fldextrspundgdvds 33694. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvdslem	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fldextrspundgdvdslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 20708	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 33681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 33669	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
12		elxnn0 12456	. . 3 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* ↔ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
14		fldextrspun.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
15		fldextrspun.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	2, 4, 5, 14, 15	fldsdrgfldext2 33675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
17		extdgmul 33676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
18	9, 16, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
20		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐼) = +∞)
21	20	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)))
22		fldextrspundgledvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
26	22	nngt0d 12174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼[:]𝐾))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → 0 < (𝐼[:]𝐾))
28		xmulpnf2 13174	. . . . 5 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐼[:]𝐾)) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
30	19, 21, 29	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = +∞)
31	4	flddrngd 20656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
32	1	sdrgss 20708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
33	5, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
34	33, 8	unssd 4139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
35	1, 31, 34	fldgensdrg 33280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
36		fldextrspun.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
37		fldextrspun.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
38		fldextrspundglemul.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
40		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
41		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
42	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunlem2 33690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
44	3, 43	eqtr4id 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
45	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunfld 33689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
46	44, 45	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
47	46	flddrngd 20656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
48	47	drngringd 20652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
49	3	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
50		ovexd 7381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
51		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
52	51	sdrgss 20708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
53	14, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
54	2, 1	ressbas2 17149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
55	33, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
56	53, 55	sseqtrrd 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
57		ssun1 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
59	56, 58	sstrd 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
60	1, 31, 34	fldgenssid 33279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
61	59, 60	sstrd 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
62		ressabs 17159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
63	50, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
64	49, 63	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
65	2	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
66		ressabs 17159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
67	5, 56, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
68	65, 67	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
69	64, 68	eqtr4d 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
70		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
71	70	sdrgdrng 20705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
72	14, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
73	69, 72	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
74	73	drngringd 20652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
75	1, 31, 34	fldgenssv 33281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
76	3, 1	ressbas2 17149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
78	61, 77	sseqtrd 3966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
79	31	drngringd 20652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
80	58, 60	sstrd 3940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
81		sdrgsubrg 20706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
82		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
83	82	subrg1cl 20495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
84	5, 81, 83	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
85	80, 84	sseldd 3930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
86	3, 1, 82	ress1r 33201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
87	79, 85, 75, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
88	2, 1, 82	ress1r 33201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
89	79, 84, 33, 88	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
90	87, 89	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
91		sdrgsubrg 20706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
92		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
93	92	subrg1cl 20495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
94	14, 91, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
95	90, 94	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
96		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
97		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
98	96, 97	issubrg 20486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
99	48, 74, 78, 95, 98	syl22anbrc 32434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
100		issdrg 20703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
101	47, 99, 73, 100	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
102	3, 4, 35, 101, 15	fldsdrgfldext2 33675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
103		extdgcl 33669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
105	22	nnnn0d 12442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
106	105, 38	nn0mulcld 12447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
107	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 3	fldextrspundglemul 33692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
108	38	nn0red 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
109		rexmul 13170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
110	23, 108, 109	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
111	107, 110	breqtrd 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
112		xnn0lenn0nn0 13144	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
113	104, 106, 111, 112	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
114	113	nn0red 12443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
115	114	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
116	115	renepnfd 11163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ≠ +∞)
117	116	neneqd 2933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ¬ (𝐸[:]𝐾) = +∞)
118	30, 117	pm2.65da 816	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐸[:]𝐼) = +∞)
119	13, 118	olcnd 877	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℕ₀^*cxnn0 12454   ·_e cxmu 13010  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  1_rcur 20099  Ringcrg 20151  SubRingcsubrg 20484  RingSpancrgspn 20525  DivRingcdr 20644  Fieldcfield 20645  SubDRingcsdrg 20701   fldGen cfldgen 33276  /_FldExtcfldext 33651  [:]cextdg 33653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-ac2 10354  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-r1 9657  df-rank 9658  df-dju 9794  df-card 9832  df-acn 9835  df-ac 10007  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-word 14421  df-lsw 14470  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-s2 14755  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-mri 17490  df-acs 17491  df-proset 18200  df-drs 18201  df-poset 18219  df-ipo 18434  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cntr 19230  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-nzr 20428  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rgspn 20526  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-idom 20611  df-drng 20646  df-field 20647  df-sdrg 20702  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lmhm 20956  df-lmim 20957  df-lbs 21009  df-lvec 21037  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-cnfld 21292  df-zring 21384  df-dsmm 21669  df-frlm 21684  df-uvc 21720  df-lindf 21743  df-linds 21744  df-assa 21790  df-ind 32832  df-fldgen 33277  df-dim 33612  df-fldext 33654  df-extdg 33655

This theorem is referenced by:  fldextrspundgdvds  33694  fldext2rspun  33695