Theorem fldextrspundgdvdslem 34312

Description: Lemma for fldextrspundgdvds 34313. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvdslem	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fldextrspundgdvdslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 21050	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 34300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 34288	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
12		elxnn0 12681	. . 3 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* ↔ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
14		fldextrspun.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
15		fldextrspun.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	2, 4, 5, 14, 15	fldsdrgfldext2 34294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
17		extdgmul 34295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
18	9, 16, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐼) = +∞)
21	20	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)))
22		fldextrspundgledvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12350	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
25	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
26	22	nngt0d 12387	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼[:]𝐾))
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → 0 < (𝐼[:]𝐾))
28		xmulpnf2 13405	. . . . 5 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐼[:]𝐾)) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
29	25, 27, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
30	19, 21, 29	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = +∞)
31	4	flddrngd 20994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
32	1	sdrgss 21050	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
33	5, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
34	33, 8	unssd 4190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
35	1, 31, 34	fldgensdrg 33876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
36		fldextrspun.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
37		fldextrspun.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
38		fldextrspundglemul.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
39		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
40		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
41		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
42	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunlem2 34309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
44	3, 43	eqtr4id 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
45	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunfld 34308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
46	44, 45	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
47	46	flddrngd 20994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
48	47	drngringd 20988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
49	3	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
50		ovexd 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
51		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
52	51	sdrgss 21050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
53	14, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
54	2, 1	ressbas2 17416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
55	33, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
56	53, 55	sseqtrrd 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
57		ssun1 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
59	56, 58	sstrd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
60	1, 31, 34	fldgenssid 33875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
61	59, 60	sstrd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
62		ressabs 17426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
63	50, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
64	49, 63	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
65	2	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
66		ressabs 17426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
67	5, 56, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
68	65, 67	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
69	64, 68	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
70		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
71	70	sdrgdrng 21047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
72	14, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
73	69, 72	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
74	73	drngringd 20988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
75	1, 31, 34	fldgenssv 33877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
76	3, 1	ressbas2 17416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
78	61, 77	sseqtrd 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
79	31	drngringd 20988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
80	58, 60	sstrd 3918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
81		sdrgsubrg 21048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
82		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
83	82	subrg1cl 20832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
84	5, 81, 83	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
85	80, 84	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
86	3, 1, 82	ress1r 33793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
87	79, 85, 75, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
88	2, 1, 82	ress1r 33793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
89	79, 84, 33, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
90	87, 89	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
91		sdrgsubrg 21048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
92		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
93	92	subrg1cl 20832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
94	14, 91, 93	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
95	90, 94	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
96		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
97		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
98	96, 97	issubrg 20823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
99	48, 74, 78, 95, 98	syl22anbrc 33056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
100		issdrg 21045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
101	47, 99, 73, 100	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
102	3, 4, 35, 101, 15	fldsdrgfldext2 34294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
103		extdgcl 34288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
105	22	nnnn0d 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
106	105, 38	nn0mulcld 12672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
107	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 3	fldextrspundglemul 34311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
108	38	nn0red 12668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
109		rexmul 13401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
110	23, 108, 109	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
111	107, 110	breqtrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
112		xnn0lenn0nn0 13375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
113	104, 106, 111, 112	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
114	113	nn0red 12668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
115	114	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
116	115	renepnfd 11360	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ≠ +∞)
117	116	neneqd 2960	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ¬ (𝐸[:]𝐾) = +∞)
118	30, 117	pm2.65da 829	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐸[:]𝐼) = +∞)
119	13, 118	olcnd 891	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   · cmul 11205  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℕ₀^*cxnn0 12679   ·_e cxmu 13240  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  SubRingcsubrg 20821  RingSpancrgspn 20862  DivRingcdr 20980  Fieldcfield 20981  SubDRingcsdrg 21043   fldGen cfldgen 33872  /_FldExtcfldext 34270  [:]cextdg 34272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-reg 9586  ax-inf2 9642  ax-ac2 10541  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-r1 9768  df-rank 9769  df-scott 9929  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-ac 10195  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-ind 12321  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-s2 14999  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ocomp 17449  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-mri 17758  df-acs 17759  df-proset 18468  df-drs 18469  df-poset 18487  df-ipo 18702  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cntr 19532  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rgspn 20863  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-idom 20948  df-drng 20982  df-field 20983  df-sdrg 21044  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lmhm 21297  df-lmim 21298  df-lbs 21350  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-uvc 22089  df-lindf 22112  df-linds 22113  df-assa 22161  df-fldgen 33873  df-dim 34232  df-fldext 34273  df-extdg 34274

This theorem is used by:  fldextrspundgdvds  34313  fldext2rspun  34314