Theorem fldextrspundgdvdslem 34079

Description: Lemma for fldextrspundgdvds 34080. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvdslem	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fldextrspundgdvdslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 20905	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 34067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 34055	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
12		elxnn0 12583	. . 3 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* ↔ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
13	11, 12	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
14		fldextrspun.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
15		fldextrspun.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	2, 4, 5, 14, 15	fldsdrgfldext2 34061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
17		extdgmul 34062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
18	9, 16, 17	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
20		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐼) = +∞)
21	20	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)))
22		fldextrspundgledvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
26	22	nngt0d 12289	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼[:]𝐾))
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → 0 < (𝐼[:]𝐾))
28		xmulpnf2 13305	. . . . 5 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐼[:]𝐾)) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
29	25, 27, 28	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
30	19, 21, 29	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = +∞)
31	4	flddrngd 20850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
32	1	sdrgss 20905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
33	5, 32	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
34	33, 8	unssd 4145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
35	1, 31, 34	fldgensdrg 33644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
36		fldextrspun.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
37		fldextrspun.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
38		fldextrspundglemul.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
39		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
40		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
42	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunlem2 34076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
44	3, 43	eqtr4id 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
45	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunfld 34075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
46	44, 45	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
47	46	flddrngd 20850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
48	47	drngringd 20844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
49	3	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
50		ovexd 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
51		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
52	51	sdrgss 20905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
53	14, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
54	2, 1	ressbas2 17302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
55	33, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
56	53, 55	sseqtrrd 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
57		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
59	56, 58	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
60	1, 31, 34	fldgenssid 33643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
61	59, 60	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
62		ressabs 17312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
63	50, 61, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
64	49, 63	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
65	2	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
66		ressabs 17312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
67	5, 56, 66	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
68	65, 67	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
69	64, 68	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
70		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
71	70	sdrgdrng 20902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
72	14, 71	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
73	69, 72	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
74	73	drngringd 20844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
75	1, 31, 34	fldgenssv 33645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
76	3, 1	ressbas2 17302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
77	75, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
78	61, 77	sseqtrd 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
79	31	drngringd 20844	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
80	58, 60	sstrd 3947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
81		sdrgsubrg 20903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
82		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
83	82	subrg1cl 20688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
84	5, 81, 83	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
85	80, 84	sseldd 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
86	3, 1, 82	ress1r 33561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
87	79, 85, 75, 86	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
88	2, 1, 82	ress1r 33561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
89	79, 84, 33, 88	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
90	87, 89	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
91		sdrgsubrg 20903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
92		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
93	92	subrg1cl 20688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
94	14, 91, 93	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
95	90, 94	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
96		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
97		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
98	96, 97	issubrg 20679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
99	48, 74, 78, 95, 98	syl22anbrc 32815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
100		issdrg 20900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
101	47, 99, 73, 100	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
102	3, 4, 35, 101, 15	fldsdrgfldext2 34061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
103		extdgcl 34055	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
105	22	nnnn0d 12569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
106	105, 38	nn0mulcld 12574	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
107	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 3	fldextrspundglemul 34078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
108	38	nn0red 12570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
109		rexmul 13301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
110	23, 108, 109	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
111	107, 110	breqtrd 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
112		xnn0lenn0nn0 13275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
113	104, 106, 111, 112	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
114	113	nn0red 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
115	114	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
116	115	renepnfd 11264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ≠ +∞)
117	116	neneqd 2963	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ¬ (𝐸[:]𝐾) = +∞)
118	30, 117	pm2.65da 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐸[:]𝐼) = +∞)
119	13, 118	olcnd 890	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   · cmul 11109  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12508  ℕ₀^*cxnn0 12581   ·_e cxmu 13140  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294  1_rcur 20267  Ringcrg 20319  SubRingcsubrg 20677  RingSpancrgspn 20718  DivRingcdr 20836  Fieldcfield 20837  SubDRingcsdrg 20898   fldGen cfldgen 33640  /_FldExtcfldext 34037  [:]cextdg 34039

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9550  ax-inf2 9606  ax-ac2 10451  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-r1 9732  df-rank 9733  df-scott 9854  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10105  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-ind 12223  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-word 14556  df-lsw 14605  df-concat 14613  df-s1 14639  df-substr 14684  df-pfx 14714  df-s2 14890  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-sum 15743  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ocomp 17335  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-mri 17644  df-acs 17645  df-proset 18354  df-drs 18355  df-poset 18373  df-ipo 18588  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mhm 18845  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-ghm 19288  df-cntz 19391  df-cntr 19392  df-lsm 19710  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-nzr 20619  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-rgspn 20719  df-rlreg 20802  df-domn 20803  df-idom 20804  df-drng 20838  df-field 20839  df-sdrg 20899  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lmhm 21152  df-lmim 21153  df-lbs 21205  df-lvec 21233  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-cnfld 21532  df-zring 21606  df-dsmm 21891  df-frlm 21906  df-uvc 21942  df-lindf 21965  df-linds 21966  df-assa 22012  df-fldgen 33641  df-dim 33999  df-fldext 34040  df-extdg 34041

This theorem is used by:  fldextrspundgdvds  34080  fldext2rspun  34081