Theorem fldextrspundgdvdslem 33839

Description: Lemma for fldextrspundgdvds 33840. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
fldextrspundgledvds.1	⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundgdvdslem	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem fldextrspundgdvdslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 20730	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 33827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 33815	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
12		elxnn0 12480	. . 3 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* ↔ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
13	11, 12	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0 ∨ (𝐸[:]𝐼) = +∞))
14		fldextrspun.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
15		fldextrspun.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	2, 4, 5, 14, 15	fldsdrgfldext2 33821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
17		extdgmul 33822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
18	9, 16, 17	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
20		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐼) = +∞)
21	20	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) = (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)))
22		fldextrspundgledvds.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ)
23	22	nnred 12164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ)
24	23	rexrd 11186	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
26	22	nngt0d 12198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐼[:]𝐾))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → 0 < (𝐼[:]𝐾))
28		xmulpnf2 13194	. . . . 5 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐼[:]𝐾)) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
29	25, 27, 28	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (+∞ ·e (𝐼[:]𝐾)) = +∞)
30	19, 21, 29	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) = +∞)
31	4	flddrngd 20678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ DivRing)
32	1	sdrgss 20730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
33	5, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿))
34	33, 8	unssd 4145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (Base‘𝐿))
35	1, 31, 34	fldgensdrg 33398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ (SubDRing‘𝐿))
36		fldextrspun.j	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
37		fldextrspun.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
38		fldextrspundglemul.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (RingSpan‘𝐿) = (RingSpan‘𝐿)
40		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)))
42	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunlem2 33836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻)) = (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))))
44	3, 43	eqtr4id 2791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))))
45	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 39, 40, 41	fldextrspunfld 33835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ↾s ((RingSpan‘𝐿)‘(𝐺 ∪ 𝐻))) ∈ Field)
46	44, 45	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
47	46	flddrngd 20678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
48	47	drngringd 20674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
49	3	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐸 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹)
50		ovexd 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V)
51		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
52	51	sdrgss 20730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
53	14, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐼))
54	2, 1	ressbas2 17169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐺 ⊆ (Base‘𝐿) → 𝐺 = (Base‘𝐼))
55	33, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (Base‘𝐼))
56	53, 55	sseqtrrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐺)
57		ssun1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻)
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
59	56, 58	sstrd 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 ∪ 𝐻))
60	1, 31, 34	fldgenssid 33397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∪ 𝐻) ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
61	59, 60	sstrd 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
62		ressabs 17179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∈ V ∧ 𝐹 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
63	50, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻))) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
64	49, 63	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
65	2	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹)
66		ressabs 17179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) ∧ 𝐹 ⊆ 𝐺) → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
67	5, 56, 66	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 ↾s 𝐺) ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
68	65, 67	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐿 ↾s 𝐹))
69	64, 68	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹))
70		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ↾s 𝐹) = (𝐼 ↾s 𝐹)
71	70	sdrgdrng 20727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
72	14, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
73	69, 72	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing)
74	73	drngringd 20674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring)
75	1, 31, 34	fldgenssv 33399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿))
76	3, 1	ressbas2 17169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿) → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) = (Base‘𝐸))
78	61, 77	sseqtrd 3971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
79	31	drngringd 20674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Ring)
80	58, 60	sstrd 3945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
81		sdrgsubrg 20728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿))
82		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
83	82	subrg1cl 20517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ (SubRing‘𝐿) → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
84	5, 81, 83	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ 𝐺)
85	80, 84	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
86	3, 1, 82	ress1r 33317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ∧ (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)) ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
87	79, 85, 75, 86	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐸))
88	2, 1, 82	ress1r 33317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝐺 ∧ 𝐺 ⊆ (Base‘𝐿)) → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
89	79, 84, 33, 88	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐿) = (1r‘𝐼))
90	87, 89	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) = (1r‘𝐼))
91		sdrgsubrg 20728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼))
92		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝐼) = (1r‘𝐼)
93	92	subrg1cl 20517	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐼) → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
94	14, 91, 93	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐼) ∈ 𝐹)
95	90, 94	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)
96		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
97		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝐸) = (1r‘𝐸)
98	96, 97	issubrg 20508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ↔ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Ring) ∧ (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) ∧ (1r‘𝐸) ∈ 𝐹)))
99	48, 74, 78, 95, 98	syl22anbrc 32533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
100		issdrg 20725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
101	47, 99, 73, 100	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
102	3, 4, 35, 101, 15	fldsdrgfldext2 33821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐾)
103		extdgcl 33815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸/FldExt𝐾 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
105	22	nnnn0d 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0)
106	105, 38	nn0mulcld 12471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0)
107	15, 2, 36, 4, 14, 37, 5, 6, 38, 3	fldextrspundglemul 33838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))
108	38	nn0red 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ)
109		rexmul 13190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
110	23, 108, 109	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
111	107, 110	breqtrd 5125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)))
112		xnn0lenn0nn0 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0* ∧ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾)) ∈ ℕ0 ∧ (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) · (𝐽[:]𝐾))) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
113	104, 106, 111, 112	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℕ0)
114	113	nn0red 12467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
115	114	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ∈ ℝ)
116	115	renepnfd 11187	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → (𝐸[:]𝐾) ≠ +∞)
117	116	neneqd 2938	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸[:]𝐼) = +∞) → ¬ (𝐸[:]𝐾) = +∞)
118	30, 117	pm2.65da 817	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐸[:]𝐼) = +∞)
119	13, 118	olcnd 878	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   · cmul 11035  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℕ₀^*cxnn0 12478   ·_e cxmu 13029  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20506  RingSpancrgspn 20547  DivRingcdr 20666  Fieldcfield 20667  SubDRingcsdrg 20723   fldGen cfldgen 33394  /_FldExtcfldext 33797  [:]cextdg 33799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-reg 9501  ax-inf2 9554  ax-ac2 10377  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-r1 9680  df-rank 9681  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-ac 10030  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-concat 14498  df-s1 14524  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-s2 14775  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ocomp 17202  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-mri 17511  df-acs 17512  df-proset 18221  df-drs 18222  df-poset 18240  df-ipo 18455  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cntr 19251  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-nzr 20450  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-rgspn 20548  df-rlreg 20631  df-domn 20632  df-idom 20633  df-drng 20668  df-field 20669  df-sdrg 20724  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-lmhm 20978  df-lmim 20979  df-lbs 21031  df-lvec 21059  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-dsmm 21691  df-frlm 21706  df-uvc 21742  df-lindf 21765  df-linds 21766  df-assa 21812  df-ind 32932  df-fldgen 33395  df-dim 33758  df-fldext 33800  df-extdg 33801

This theorem is referenced by:  fldextrspundgdvds  33840  fldext2rspun  33841