Theorem fldextrspundglemul 33986

Description: Given two field extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, 𝐽 / 𝐾 being finite, and the composiste field 𝐸 = 𝐼𝐽, the degree of the extension of the composite field 𝐸 / 𝐾 is at most the product of the field extension degrees of 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundglemul	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))

Proof of Theorem fldextrspundglemul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 20865	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 33975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 33963	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11		xnn0xr 12573	. . . 4 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ*)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ*)
13		fldextrspun.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
14		fldextrspun.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
15		fldextrspun.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	13, 4, 6, 14, 15	fldsdrgfldext2 33969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽/FldExt𝐾)
17		extdgcl 33963	. . . 4 ⊢ (𝐽/FldExt𝐾 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
18		xnn0xr 12573	. . . 4 ⊢ ((𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0* → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ*)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ*)
20		fldextrspun.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
21	2, 4, 5, 20, 15	fldsdrgfldext2 33969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
22		extdgcl 33963	. . . . 5 ⊢ (𝐼/FldExt𝐾 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
23		xnn0xrge0 13524	. . . . 5 ⊢ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0* → (𝐼[:]𝐾) ∈ (0[,]+∞))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ (0[,]+∞))
25		elxrge0 13475	. . . 4 ⊢ ((𝐼[:]𝐾) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐼[:]𝐾)))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐼[:]𝐾)))
27		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
28	15, 2, 13, 4, 20, 14, 5, 6, 27, 3	fldextrspundgle 33985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ≤ (𝐽[:]𝐾))
29		xlemul1a 13305	. . 3 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐼[:]𝐾))) ∧ (𝐸[:]𝐼) ≤ (𝐽[:]𝐾)) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) ≤ ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
30	12, 19, 26, 28, 29	syl31anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) ≤ ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
31		extdgmul 33970	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
32	9, 21, 31	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
33		xnn0xr 12573	. . . 4 ⊢ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0* → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
34	21, 22, 33	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
35		xmulcom 13283	. . 3 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
36	34, 19, 35	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
37	30, 32, 36	3brtr4d 5137	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232  ℕ₀cn0 12495  ℕ₀^*cxnn0 12568   ·_e cxmu 13127  [,]cicc 13366  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  Fieldcfield 20805  SubDRingcsdrg 20858   fldGen cfldgen 33546  /_FldExtcfldext 33945  [:]cextdg 33947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-rpss 7710  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-r1 9724  df-rank 9725  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-ac 10088  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-ind 12210  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-word 14541  df-lsw 14590  df-concat 14598  df-s1 14624  df-substr 14669  df-pfx 14699  df-s2 14875  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ocomp 17321  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-mri 17630  df-acs 17631  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18574  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cntr 19379  df-lsm 19697  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-nzr 20587  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-rgspn 20687  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-idom 20772  df-drng 20806  df-field 20807  df-sdrg 20859  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-lmhm 21112  df-lmim 21113  df-lbs 21165  df-lvec 21193  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-cnfld 21483  df-zring 21557  df-dsmm 21842  df-frlm 21857  df-uvc 21893  df-lindf 21916  df-linds 21917  df-assa 21963  df-fldgen 33547  df-dim 33907  df-fldext 33948  df-extdg 33949

This theorem is referenced by:  fldextrspundgdvdslem  33987  fldextrspundgdvds  33988  fldext2rspun  33989