Theorem fldextrspundglemul 34035

Description: Given two field extensions 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾 of the same field 𝐾, 𝐽 / 𝐾 being finite, and the composiste field 𝐸 = 𝐼𝐽, the degree of the extension of the composite field 𝐸 / 𝐾 is at most the product of the field extension degrees of 𝐼 / 𝐾 and 𝐽 / 𝐾. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fldextrspun.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
fldextrspun.i	⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
fldextrspun.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
fldextrspun.2	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
fldextrspun.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
fldextrspun.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
fldextrspun.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspun.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
fldextrspundglemul.7	⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
fldextrspundglemul.1	⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
fldextrspundglemul	⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))

Proof of Theorem fldextrspundglemul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2		fldextrspun.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝐿 ↾s 𝐺)
3		fldextrspundglemul.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐿 ↾s (𝐿 fldGen (𝐺 ∪ 𝐻)))
4		fldextrspun.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ Field)
5		fldextrspun.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (SubDRing‘𝐿))
6		fldextrspun.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿))
7	1	sdrgss 20875	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ (SubDRing‘𝐿) → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (Base‘𝐿))
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	fldgenfldext 34024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸/FldExt𝐼)
10		extdgcl 34012	. . . 4 ⊢ (𝐸/FldExt𝐼 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0*)
11		xnn0xr 12581	. . . 4 ⊢ ((𝐸[:]𝐼) ∈ ℕ0* → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ*)
12	9, 10, 11	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ*)
13		fldextrspun.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾s 𝐻)
14		fldextrspun.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐽))
15		fldextrspun.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾s 𝐹)
16	13, 4, 6, 14, 15	fldsdrgfldext2 34018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽/FldExt𝐾)
17		extdgcl 34012	. . . 4 ⊢ (𝐽/FldExt𝐾 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
18		xnn0xr 12581	. . . 4 ⊢ ((𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0* → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ*)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ*)
20		fldextrspun.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐼))
21	2, 4, 5, 20, 15	fldsdrgfldext2 34018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼/FldExt𝐾)
22		extdgcl 34012	. . . . 5 ⊢ (𝐼/FldExt𝐾 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0*)
23		xnn0xrge0 13532	. . . . 5 ⊢ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0* → (𝐼[:]𝐾) ∈ (0[,]+∞))
24	21, 22, 23	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ (0[,]+∞))
25		elxrge0 13483	. . . 4 ⊢ ((𝐼[:]𝐾) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐼[:]𝐾)))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐼[:]𝐾)))
27		fldextrspundglemul.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽[:]𝐾) ∈ ℕ0)
28	15, 2, 13, 4, 20, 14, 5, 6, 27, 3	fldextrspundgle 34034	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐼) ≤ (𝐽[:]𝐾))
29		xlemul1a 13313	. . 3 ⊢ ((((𝐸[:]𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐼[:]𝐾))) ∧ (𝐸[:]𝐼) ≤ (𝐽[:]𝐾)) → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) ≤ ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
30	12, 19, 26, 28, 29	syl31anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)) ≤ ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
31		extdgmul 34019	. . 3 ⊢ ((𝐸/FldExt𝐼 ∧ 𝐼/FldExt𝐾) → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
32	9, 21, 31	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) = ((𝐸[:]𝐼) ·e (𝐼[:]𝐾)))
33		xnn0xr 12581	. . . 4 ⊢ ((𝐼[:]𝐾) ∈ ℕ0* → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
34	21, 22, 33	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ*)
35		xmulcom 13291	. . 3 ⊢ (((𝐼[:]𝐾) ∈ ℝ* ∧ (𝐽[:]𝐾) ∈ ℝ*) → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
36	34, 19, 35	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)) = ((𝐽[:]𝐾) ·e (𝐼[:]𝐾)))
37	30, 32, 36	3brtr4d 5142	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸[:]𝐾) ≤ ((𝐼[:]𝐾) ·e (𝐽[:]𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  +∞cpnf 11239  ℝ^*cxr 11241   ≤ cle 11243  ℕ₀cn0 12503  ℕ₀^*cxnn0 12576   ·_e cxmu 13135  [,]cicc 13374  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  Fieldcfield 20813  SubDRingcsdrg 20868   fldGen cfldgen 33597  /_FldExtcfldext 33994  [:]cextdg 33996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-reg 9553  ax-inf2 9609  ax-ac2 10446  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-rpss 7720  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-r1 9735  df-rank 9736  df-dju 9886  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-ind 12218  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-word 14551  df-lsw 14600  df-concat 14608  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-s2 14885  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ocomp 17330  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-mri 17639  df-acs 17640  df-proset 18349  df-drs 18350  df-poset 18368  df-ipo 18583  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cntr 19387  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-nzr 20595  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-rgspn 20695  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-idom 20780  df-drng 20814  df-field 20815  df-sdrg 20869  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lmhm 21122  df-lmim 21123  df-lbs 21175  df-lvec 21203  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-dsmm 21861  df-frlm 21876  df-uvc 21912  df-lindf 21935  df-linds 21936  df-assa 21982  df-fldgen 33598  df-dim 33956  df-fldext 33997  df-extdg 33998

This theorem is referenced by:  fldextrspundgdvdslem  34036  fldextrspundgdvds  34037  fldext2rspun  34038