Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  extdgmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem extdgmul 32407
Description: The multiplicativity formula for degrees of field extensions. Given ๐ธ a field extension of ๐น, itself a field extension of ๐พ, the degree of the extension ๐ธ/FldExt๐พ is the product of the degrees of the extensions ๐ธ/FldExt๐น and ๐น/FldExt๐พ. Proposition 1.2 of [Lang], p. 224. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
extdgmul ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐พ) = ((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)))

Proof of Theorem extdgmul
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐พ)) = ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))
2 eqid 2733 . . 3 ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น)) = ((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))
3 eqid 2733 . . 3 ((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ)) = ((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ))
4 eqid 2733 . . 3 (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น))
5 eqid 2733 . . 3 (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ)) = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ))
6 simpl 484 . . . . 5 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐ธ/FldExt๐น)
7 fldextfld1 32395 . . . . 5 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
86, 7syl 17 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐ธ โˆˆ Field)
9 isfld 20208 . . . . 5 (๐ธ โˆˆ Field โ†” (๐ธ โˆˆ DivRing โˆง ๐ธ โˆˆ CRing))
109simplbi 499 . . . 4 (๐ธ โˆˆ Field โ†’ ๐ธ โˆˆ DivRing)
118, 10syl 17 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐ธ โˆˆ DivRing)
12 fldextfld1 32395 . . . . . . . 8 (๐น/FldExt๐พ โ†’ ๐น โˆˆ Field)
1312adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐น โˆˆ Field)
14 brfldext 32393 . . . . . . 7 ((๐ธ โˆˆ Field โˆง ๐น โˆˆ Field) โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
158, 13, 14syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ/FldExt๐น โ†” (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
166, 15mpbid 231 . . . . 5 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆง (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)))
1716simpld 496 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐น = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))
18 isfld 20208 . . . . . 6 (๐น โˆˆ Field โ†” (๐น โˆˆ DivRing โˆง ๐น โˆˆ CRing))
1918simplbi 499 . . . . 5 (๐น โˆˆ Field โ†’ ๐น โˆˆ DivRing)
2013, 19syl 17 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐น โˆˆ DivRing)
2117, 20eqeltrrd 2835 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)) โˆˆ DivRing)
22 fldexttr 32404 . . . . . 6 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐ธ/FldExt๐พ)
23 fldextfld2 32396 . . . . . . . 8 (๐น/FldExt๐พ โ†’ ๐พ โˆˆ Field)
2423adantl 483 . . . . . . 7 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ Field)
25 brfldext 32393 . . . . . . 7 ((๐ธ โˆˆ Field โˆง ๐พ โˆˆ Field) โ†’ (๐ธ/FldExt๐พ โ†” (๐พ = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ)) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
268, 24, 25syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ/FldExt๐พ โ†” (๐พ = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ)) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))))
2722, 26mpbid 231 . . . . 5 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐พ = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ)) โˆง (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ)))
2827simpld 496 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐พ = (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ)))
29 isfld 20208 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ Field โ†” (๐พ โˆˆ DivRing โˆง ๐พ โˆˆ CRing))
3029simplbi 499 . . . . 5 (๐พ โˆˆ Field โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
3124, 30syl 17 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
3228, 31eqeltrrd 2835 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐พ)) โˆˆ DivRing)
3316simprd 497 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (Baseโ€˜๐น) โˆˆ (SubRingโ€˜๐ธ))
34 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
3534fldextsubrg 32397 . . . . 5 (๐น/FldExt๐พ โ†’ (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ (SubRingโ€˜๐น))
3635adantl 483 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ (SubRingโ€˜๐น))
3717fveq2d 6847 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (SubRingโ€˜๐น) = (SubRingโ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น))))
3836, 37eleqtrd 2836 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (Baseโ€˜๐พ) โˆˆ (SubRingโ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น))))
391, 2, 3, 4, 5, 11, 21, 32, 33, 38fedgmul 32383 . 2 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))) = ((dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))) ยทe (dimโ€˜((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ)))))
40 extdgval 32400 . . 3 (๐ธ/FldExt๐พ โ†’ (๐ธ[:]๐พ) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))))
4122, 40syl 17 . 2 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐พ) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))))
42 extdgval 32400 . . . 4 (๐ธ/FldExt๐น โ†’ (๐ธ[:]๐น) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))))
436, 42syl 17 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐น) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))))
44 extdgval 32400 . . . . 5 (๐น/FldExt๐พ โ†’ (๐น[:]๐พ) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐น)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))))
4544adantl 483 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐น[:]๐พ) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐น)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))))
4617fveq2d 6847 . . . . . 6 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (subringAlg โ€˜๐น) = (subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น))))
4746fveq1d 6845 . . . . 5 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ((subringAlg โ€˜๐น)โ€˜(Baseโ€˜๐พ)) = ((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ)))
4847fveq2d 6847 . . . 4 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐น)โ€˜(Baseโ€˜๐พ))) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ))))
4945, 48eqtrd 2773 . . 3 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐น[:]๐พ) = (dimโ€˜((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ))))
5043, 49oveq12d 7376 . 2 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ ((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)) = ((dimโ€˜((subringAlg โ€˜๐ธ)โ€˜(Baseโ€˜๐น))) ยทe (dimโ€˜((subringAlg โ€˜(๐ธ โ†พs (Baseโ€˜๐น)))โ€˜(Baseโ€˜๐พ)))))
5139, 41, 503eqtr4d 2783 1 ((๐ธ/FldExt๐น โˆง ๐น/FldExt๐พ) โ†’ (๐ธ[:]๐พ) = ((๐ธ[:]๐น) ยทe (๐น[:]๐พ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ยทe cxmu 13037  Basecbs 17088   โ†พs cress 17117  CRingccrg 19970  DivRingcdr 20197  Fieldcfield 20198  SubRingcsubrg 20232  subringAlg csra 20645  dimcldim 32353  /FldExtcfldext 32384  [:]cextdg 32387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-rpss 7661  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-r1 9705  df-rank 9706  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-xmul 13040  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ocomp 17159  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-mri 17473  df-acs 17474  df-proset 18189  df-drs 18190  df-poset 18207  df-ipo 18422  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lindf 21228  df-linds 21229  df-dim 32354  df-fldext 32388  df-extdg 32389
This theorem is referenced by:  finexttrb  32408
  Copyright terms: Public domain W3C validator