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Theorem sbgoldbo 47712
Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, the original formulation of the Goldbach conjecture also holds: Every integer greater than 2 can be expressed as the sum of three "primes" with regarding 1 to be a prime (as Goldbach did). Original text: "Es scheint wenigstens, dass eine jede Zahl, die groesser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey." (Goldbach, 1742). (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sbgoldbo.p 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
Assertion
Ref Expression
sbgoldbo (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘3)∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem sbgoldbo
StepHypRef Expression
1 nfra1 3282 . 2 𝑛𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven )
2 3z 12648 . . . . 5 3 ∈ ℤ
3 6nn 12353 . . . . . 6 6 ∈ ℕ
43nnzi 12639 . . . . 5 6 ∈ ℤ
5 3re 12344 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
6 6re 12354 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
7 3lt6 12447 . . . . . 6 3 < 6
85, 6, 7ltleii 11382 . . . . 5 3 ≤ 6
9 eluz2 12882 . . . . 5 (6 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 6))
102, 4, 8, 9mpbir3an 1340 . . . 4 6 ∈ (ℤ‘3)
11 uzsplit 13633 . . . . 5 (6 ∈ (ℤ‘3) → (ℤ‘3) = ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)))
1211eleq2d 2825 . . . 4 (6 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6))))
1310, 12ax-mp 5 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)))
14 elun 4163 . . . . 5 (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)) ↔ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)))
15 6m1e5 12395 . . . . . . . . . 10 (6 − 1) = 5
1615oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (3...(6 − 1)) = (3...5)
17 5nn 12350 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ
1817nnzi 12639 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℤ
19 5re 12351 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
20 3lt5 12442 . . . . . . . . . . . 12 3 < 5
215, 19, 20ltleii 11382 . . . . . . . . . . 11 3 ≤ 5
22 eluz2 12882 . . . . . . . . . . 11 (5 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
232, 18, 21, 22mpbir3an 1340 . . . . . . . . . 10 5 ∈ (ℤ‘3)
24 fzopredsuc 47273 . . . . . . . . . 10 (5 ∈ (ℤ‘3) → (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
2616, 25eqtri 2763 . . . . . . . 8 (3...(6 − 1)) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
2726eleq2i 2831 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ↔ 𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
28 elun 4163 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) ↔ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}))
29 elun 4163 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ↔ (𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)))
30 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {3} → 𝑛 = 3)
31 1ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ V
3231snid 4667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ {1}
3332orci 865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ)
34 elun 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ))
3533, 34mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ({1} ∪ ℙ)
36 sbgoldbo.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
3735, 36eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ 𝑃
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 3 → 1 ∈ 𝑃)
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → 𝑛 = 3)
40 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 1 → (𝑝 + 𝑞) = (1 + 𝑞))
4140oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 1 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
4339, 42eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
44432rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
45 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 1 → (1 + 𝑞) = (1 + 1))
4645oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 1 → ((1 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 1) + 𝑟))
4746eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 1 → (3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
4847rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 1 → (∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
50 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
51 df-2 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
5251oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
5350, 52eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 = ((1 + 1) + 1)
54 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 1 → ((1 + 1) + 𝑟) = ((1 + 1) + 1))
5553, 54eqtr4id 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 1 → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑟 = 1) → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
5738, 56rspcedeq2vd 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 3 → ∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
5838, 49, 57rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 3 → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
5938, 44, 58rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 3 → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6030, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {3} → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61 3p1e4 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 + 1) = 4
62 df-5 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = (4 + 1)
6361, 62oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 + 1)..^5) = (4..^(4 + 1))
64 4z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℤ
65 fzval3 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 ∈ ℤ → (4...4) = (4..^(4 + 1)))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4...4) = (4..^(4 + 1))
6763, 66eqtr4i 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 1)..^5) = (4...4)
6867eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ (4...4))
69 fzsn 13603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℤ → (4...4) = {4})
7064, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4...4) = {4}
7170eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (4...4) ↔ 𝑛 ∈ {4})
7268, 71bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ {4})
73 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {4} → 𝑛 = 4)
74 2prm 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℙ
7574olci 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ)
76 elun 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ))
7775, 76mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ({1} ∪ ℙ)
7877, 36eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ 𝑃
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 4 → 2 ∈ 𝑃)
80 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
8180oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
8281eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 2 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
83822rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 2 → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
8537a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 4 → 1 ∈ 𝑃)
86 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 1 → (2 + 𝑞) = (2 + 1))
8786oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 1 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 1) + 𝑟))
8887eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
8988rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 1 → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
91 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 4)
92 df-4 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 = (3 + 1)
9350oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 + 1) = ((2 + 1) + 1)
9492, 93eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 = ((2 + 1) + 1)
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 1))
96 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 𝑟) = ((2 + 1) + 1))
9796eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
9995, 98eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 𝑟))
10091, 99eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
10185, 100rspcedeq2vd 3630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 4 → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
10285, 90, 101rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 4 → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
10379, 84, 102rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 4 → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10473, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {4} → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10572, 104sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10660, 105jaoi 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10729, 106sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
108 elsni 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {5} → 𝑛 = 5)
109 3prm 16728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℙ
110109olci 866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ)
111 elun 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ))
112110, 111mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ({1} ∪ ℙ)
113112, 36eleqtrri 2838 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ 𝑃
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → 3 ∈ 𝑃)
115 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
117116eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 3 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
1181172rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 3 → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑝 = 3) → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
12037a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → 1 ∈ 𝑃)
121 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 1 → (3 + 𝑞) = (3 + 1))
122121oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 1 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 1) + 𝑟))
123122eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
124123rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 1 → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
126 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 5)
12792oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = ((3 + 1) + 1)
12862, 127eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = ((3 + 1) + 1)
129 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 1 → ((3 + 1) + 𝑟) = ((3 + 1) + 1))
130128, 129eqtr4id 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 1 → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
132126, 131eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
133120, 132rspcedeq2vd 3630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
134120, 125, 133rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
135114, 119, 134rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
136108, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {5} → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
137107, 136jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
13828, 137sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
139138a1d 25 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
14027, 139sylbi 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
141 sbgoldbm 47709 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
142 rspa 3246 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
143 ssun2 4189 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ⊆ ({1} ∪ ℙ)
144143, 36sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . 12 ℙ ⊆ 𝑃
145 rexss 4071 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
147 rexss 4071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
148144, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
149 rexss 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
150144, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
152151reximi 3082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
153150, 152sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
155154reximi 3082 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
156148, 155sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
158157reximi 3082 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
159146, 158sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
160142, 159syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
161160ex 412 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ (ℤ‘6) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
162141, 161syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ‘6) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
163162com12 32 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘6) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
164140, 163jaoi 857 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
16514, 164sylbi 217 . . . 4 (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
166165com12 32 . . 3 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
16713, 166biimtrid 242 . 2 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
1681, 167ralrimi 3255 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘3)∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  cun 3961  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  cprime 16705   Even ceven 47549   GoldbachEven cgbe 47670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706  df-even 47551  df-odd 47552  df-gbe 47673  df-gbow 47674
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