Theorem sbgoldbo 45127

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, the original formulation of the Goldbach conjecture also holds: Every integer greater than 2 can be expressed as the sum of three "primes" with regarding 1 to be a prime (as Goldbach did). Original text: "Es scheint wenigstens, dass eine jede Zahl, die groesser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey." (Goldbach, 1742). (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sbgoldbo.p	⊢ 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbo	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem sbgoldbo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 3142	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
2		3z 12283	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		6nn 11992	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
5		3re 11983	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		6re 11993	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
7		3lt6 12086	. . . . . 6 ⊢ 3 < 6
8	5, 6, 7	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ 6
9		eluz2 12517	. . . . 5 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 6))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘3)
11		uzsplit 13257	. . . . 5 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘3) = ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)))
12	11	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6))))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)))
14		elun 4079	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) ↔ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)))
15		6m1e5 12034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 − 1) = 5
16	15	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ (3...(6 − 1)) = (3...5)
17		5nn 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℤ
19		5re 11990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
20		3lt5 12081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 5
21	5, 19, 20	ltleii 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≤ 5
22		eluz2 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
23	2, 18, 21, 22	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
24		fzopredsuc 44703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
26	16, 25	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (3...(6 − 1)) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
27	26	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ↔ 𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
28		elun 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) ↔ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}))
29		elun 4079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ↔ (𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)))
30		elsni 4575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {3} → 𝑛 = 3)
31		1ex 10902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
32	31	snid 4594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ {1}
33	32	orci 861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ)
34		elun 4079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ))
35	33, 34	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ({1} ∪ ℙ)
36		sbgoldbo.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
37	35, 36	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ 𝑃
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 3 → 1 ∈ 𝑃)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → 𝑛 = 3)
40		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝑝 + 𝑞) = (1 + 𝑞))
41	40	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
43	39, 42	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
45		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 1 → (1 + 𝑞) = (1 + 1))
46	45	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 1 → ((1 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 1) + 𝑟))
47	46	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
48	47	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
50		df-3 11967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
51		df-2 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
52	51	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
53	50, 52	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = ((1 + 1) + 1)
54		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 1 → ((1 + 1) + 𝑟) = ((1 + 1) + 1))
55	53, 54	eqtr4id 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 1 → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑟 = 1) → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
57	38, 56	rspcedeq2vd 3559	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
58	38, 49, 57	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
59	38, 44, 58	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
60	30, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {3} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61		3p1e4 12048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 + 1) = 4
62		df-5 11969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = (4 + 1)
63	61, 62	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 + 1)..^5) = (4..^(4 + 1))
64		4z 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
65		fzval3 13384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ → (4...4) = (4..^(4 + 1)))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4...4) = (4..^(4 + 1))
67	63, 66	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 1)..^5) = (4...4)
68	67	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ (4...4))
69		fzsn 13227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℤ → (4...4) = {4})
70	64, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4...4) = {4}
71	70	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (4...4) ↔ 𝑛 ∈ {4})
72	68, 71	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ {4})
73		elsni 4575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ {4} → 𝑛 = 4)
74		2prm 16325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℙ
75	74	olci 862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ)
76		elun 4079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ))
77	75, 76	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ({1} ∪ ℙ)
78	77, 36	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ 𝑃
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 4 → 2 ∈ 𝑃)
80		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
81	80	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
82	81	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
83	82	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 2 → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
85	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 4 → 1 ∈ 𝑃)
86		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 1 → (2 + 𝑞) = (2 + 1))
87	86	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 1 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 1) + 𝑟))
88	87	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
89	88	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
91		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 4)
92		df-4 11968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 = (3 + 1)
93	50	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 + 1) = ((2 + 1) + 1)
94	92, 93	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 = ((2 + 1) + 1)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 1))
96		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 𝑟) = ((2 + 1) + 1))
97	96	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
99	95, 98	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 𝑟))
100	91, 99	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
101	85, 100	rspcedeq2vd 3559	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
102	85, 90, 101	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
103	79, 84, 102	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
104	73, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {4} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
105	72, 104	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
106	60, 105	jaoi 853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
107	29, 106	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
108		elsni 4575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ {5} → 𝑛 = 5)
109		3prm 16327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℙ
110	109	olci 862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ)
111		elun 4079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ))
112	110, 111	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ({1} ∪ ℙ)
113	112, 36	eleqtrri 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ 𝑃
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 5 → 3 ∈ 𝑃)
115		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
116	115	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
117	116	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
118	117	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑝 = 3) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
120	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 5 → 1 ∈ 𝑃)
121		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (3 + 𝑞) = (3 + 1))
122	121	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 1 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 1) + 𝑟))
123	122	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
124	123	rexbidv 3225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
126		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 5)
127	92	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = ((3 + 1) + 1)
128	62, 127	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = ((3 + 1) + 1)
129		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 1 → ((3 + 1) + 𝑟) = ((3 + 1) + 1))
130	128, 129	eqtr4id 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 1 → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
131	130	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
132	126, 131	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
133	120, 132	rspcedeq2vd 3559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
134	120, 125, 133	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
135	114, 119, 134	rspcedvd 3555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
136	108, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ {5} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
137	107, 136	jaoi 853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
138	28, 137	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
139	138	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
140	27, 139	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
141		sbgoldbm 45124	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
142		rspa 3130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
143		ssun2 4103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ⊆ ({1} ∪ ℙ)
144	143, 36	sseqtrri 3954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℙ ⊆ 𝑃
145		rexss 3988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
147		rexss 3988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
148	144, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
149		rexss 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
150	144, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
151		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
152	151	reximi 3174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
153	150, 152	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
154	153	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
155	154	reximi 3174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
156	148, 155	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
157	156	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
158	157	reximi 3174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
159	146, 158	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
160	142, 159	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
161	160	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
162	141, 161	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
163	162	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
164	140, 163	jaoi 853	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
165	14, 164	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
166	165	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
167	13, 166	syl5bi 241	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
168	1, 167	ralrimi 3139	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ℙcprime 16304   Even ceven 44964   GoldbachEven cgbe 45085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305  df-even 44966  df-odd 44967  df-gbe 45088  df-gbow 45089

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