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Theorem sbgoldbo 47779
Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, the original formulation of the Goldbach conjecture also holds: Every integer greater than 2 can be expressed as the sum of three "primes" with regarding 1 to be a prime (as Goldbach did). Original text: "Es scheint wenigstens, dass eine jede Zahl, die groesser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey." (Goldbach, 1742). (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
sbgoldbo.p 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
Assertion
Ref Expression
sbgoldbo (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘3)∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟
Allowed substitution hint:   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem sbgoldbo
StepHypRef Expression
1 nfra1 3283 . 2 𝑛𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven )
2 3z 12652 . . . . 5 3 ∈ ℤ
3 6nn 12356 . . . . . 6 6 ∈ ℕ
43nnzi 12643 . . . . 5 6 ∈ ℤ
5 3re 12347 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
6 6re 12357 . . . . . 6 6 ∈ ℝ
7 3lt6 12450 . . . . . 6 3 < 6
85, 6, 7ltleii 11385 . . . . 5 3 ≤ 6
9 eluz2 12885 . . . . 5 (6 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 6))
102, 4, 8, 9mpbir3an 1341 . . . 4 6 ∈ (ℤ‘3)
11 uzsplit 13637 . . . . 5 (6 ∈ (ℤ‘3) → (ℤ‘3) = ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)))
1211eleq2d 2826 . . . 4 (6 ∈ (ℤ‘3) → (𝑛 ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6))))
1310, 12ax-mp 5 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)))
14 elun 4152 . . . . 5 (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)) ↔ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)))
15 6m1e5 12398 . . . . . . . . . 10 (6 − 1) = 5
1615oveq2i 7443 . . . . . . . . 9 (3...(6 − 1)) = (3...5)
17 5nn 12353 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ
1817nnzi 12643 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℤ
19 5re 12354 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℝ
20 3lt5 12445 . . . . . . . . . . . 12 3 < 5
215, 19, 20ltleii 11385 . . . . . . . . . . 11 3 ≤ 5
22 eluz2 12885 . . . . . . . . . . 11 (5 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
232, 18, 21, 22mpbir3an 1341 . . . . . . . . . 10 5 ∈ (ℤ‘3)
24 fzopredsuc 47340 . . . . . . . . . 10 (5 ∈ (ℤ‘3) → (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
2616, 25eqtri 2764 . . . . . . . 8 (3...(6 − 1)) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
2726eleq2i 2832 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ↔ 𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
28 elun 4152 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) ↔ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}))
29 elun 4152 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ↔ (𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)))
30 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {3} → 𝑛 = 3)
31 1ex 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ V
3231snid 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ {1}
3332orci 865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ)
34 elun 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ))
3533, 34mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ({1} ∪ ℙ)
36 sbgoldbo.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
3735, 36eleqtrri 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ 𝑃
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 3 → 1 ∈ 𝑃)
39 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → 𝑛 = 3)
40 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 1 → (𝑝 + 𝑞) = (1 + 𝑞))
4140oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 1 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
4339, 42eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
44432rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
45 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 1 → (1 + 𝑞) = (1 + 1))
4645oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 1 → ((1 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 1) + 𝑟))
4746eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 1 → (3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
4847rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 1 → (∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
50 df-3 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
51 df-2 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 = (1 + 1)
5251oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
5350, 52eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 = ((1 + 1) + 1)
54 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 1 → ((1 + 1) + 𝑟) = ((1 + 1) + 1))
5553, 54eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 1 → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 3 ∧ 𝑟 = 1) → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
5738, 56rspcedeq2vd 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 3 → ∃𝑟𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
5838, 49, 57rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 3 → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
5938, 44, 58rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 3 → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
6030, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ {3} → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61 3p1e4 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 + 1) = 4
62 df-5 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = (4 + 1)
6361, 62oveq12i 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 + 1)..^5) = (4..^(4 + 1))
64 4z 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℤ
65 fzval3 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 ∈ ℤ → (4...4) = (4..^(4 + 1)))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4...4) = (4..^(4 + 1))
6763, 66eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 1)..^5) = (4...4)
6867eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ (4...4))
69 fzsn 13607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 ∈ ℤ → (4...4) = {4})
7064, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4...4) = {4}
7170eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (4...4) ↔ 𝑛 ∈ {4})
7268, 71bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ {4})
73 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ {4} → 𝑛 = 4)
74 2prm 16730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℙ
7574olci 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ)
76 elun 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ))
7775, 76mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ({1} ∪ ℙ)
7877, 36eleqtrri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ 𝑃
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 4 → 2 ∈ 𝑃)
80 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
8180oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
8281eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 = 2 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
83822rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 2 → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
8537a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 4 → 1 ∈ 𝑃)
86 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 1 → (2 + 𝑞) = (2 + 1))
8786oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 1 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 1) + 𝑟))
8887eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
8988rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 1 → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
91 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 4)
92 df-4 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 = (3 + 1)
9350oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 + 1) = ((2 + 1) + 1)
9492, 93eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 = ((2 + 1) + 1)
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 1))
96 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 𝑟) = ((2 + 1) + 1))
9796eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
9897adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
9995, 98eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 𝑟))
10091, 99eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
10185, 100rspcedeq2vd 3629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 4 → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
10285, 90, 101rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 4 → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
10379, 84, 102rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 4 → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10473, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ {4} → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10572, 104sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10660, 105jaoi 857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
10729, 106sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
108 elsni 4642 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ {5} → 𝑛 = 5)
109 3prm 16732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℙ
110109olci 866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ)
111 elun 4152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ))
112110, 111mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ({1} ∪ ℙ)
113112, 36eleqtrri 2839 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ 𝑃
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → 3 ∈ 𝑃)
115 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
116115oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
117116eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 3 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
1181172rexbidv 3221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 3 → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑝 = 3) → (∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
12037a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → 1 ∈ 𝑃)
121 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 1 → (3 + 𝑞) = (3 + 1))
122121oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 1 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 1) + 𝑟))
123122eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
124123rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 1 → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
126 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 5)
12792oveq1i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = ((3 + 1) + 1)
12862, 127eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = ((3 + 1) + 1)
129 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 1 → ((3 + 1) + 𝑟) = ((3 + 1) + 1))
130128, 129eqtr4id 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 1 → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
132126, 131eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
133120, 132rspcedeq2vd 3629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 5 → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
134120, 125, 133rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 5 → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
135114, 119, 134rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 5 → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
136108, 135syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ {5} → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
137107, 136jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
13828, 137sylbi 217 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
139138a1d 25 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
14027, 139sylbi 217 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
141 sbgoldbm 47776 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
142 rspa 3247 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
143 ssun2 4178 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ⊆ ({1} ∪ ℙ)
144143, 36sseqtrri 4032 . . . . . . . . . . . 12 ℙ ⊆ 𝑃
145 rexss 4058 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
147 rexss 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
148144, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
149 rexss 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
150144, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
151 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
152151reximi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑟𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
153150, 152sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
155154reximi 3083 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑞𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
156148, 155sylbi 217 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
158157reximi 3083 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
159146, 158sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
160142, 159syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
161160ex 412 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ (ℤ‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ (ℤ‘6) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
162141, 161syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ‘6) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
163162com12 32 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘6) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
164140, 163jaoi 857 . . . . 5 ((𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
16514, 164sylbi 217 . . . 4 (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
166165com12 32 . . 3 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ‘6)) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
16713, 166biimtrid 242 . 2 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
1681, 167ralrimi 3256 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘3)∃𝑝𝑃𝑞𝑃𝑟𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  cun 3948  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  cprime 16709   Even ceven 47616   GoldbachEven cgbe 47737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-prm 16710  df-even 47618  df-odd 47619  df-gbe 47740  df-gbow 47741
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