Theorem sbgoldbo 47791

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, the original formulation of the Goldbach conjecture also holds: Every integer greater than 2 can be expressed as the sum of three "primes" with regarding 1 to be a prime (as Goldbach did). Original text: "Es scheint wenigstens, dass eine jede Zahl, die groesser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey." (Goldbach, 1742). (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sbgoldbo.p	⊢ 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbo	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem sbgoldbo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 3253	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
2		3z 12508	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		6nn 12217	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12499	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
5		3re 12208	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		6re 12218	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
7		3lt6 12306	. . . . . 6 ⊢ 3 < 6
8	5, 6, 7	ltleii 11239	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ 6
9		eluz2 12741	. . . . 5 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 6))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘3)
11		uzsplit 13499	. . . . 5 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘3) = ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)))
12	11	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6))))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)))
14		elun 4104	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) ↔ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)))
15		6m1e5 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 − 1) = 5
16	15	oveq2i 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (3...(6 − 1)) = (3...5)
17		5nn 12214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℤ
19		5re 12215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
20		3lt5 12301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 5
21	5, 19, 20	ltleii 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≤ 5
22		eluz2 12741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
23	2, 18, 21, 22	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
24		fzopredsuc 47327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
26	16, 25	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (3...(6 − 1)) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
27	26	eleq2i 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ↔ 𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
28		elun 4104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) ↔ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}))
29		elun 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ↔ (𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)))
30		elsni 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {3} → 𝑛 = 3)
31		1ex 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
32	31	snid 4614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ {1}
33	32	orci 865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ)
34		elun 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ))
35	33, 34	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ({1} ∪ ℙ)
36		sbgoldbo.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
37	35, 36	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ 𝑃
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 3 → 1 ∈ 𝑃)
39		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → 𝑛 = 3)
40		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝑝 + 𝑞) = (1 + 𝑞))
41	40	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
43	39, 42	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	2rexbidv 3194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
45		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 1 → (1 + 𝑞) = (1 + 1))
46	45	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 1 → ((1 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 1) + 𝑟))
47	46	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
48	47	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
50		df-3 12192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
51		df-2 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
52	51	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
53	50, 52	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = ((1 + 1) + 1)
54		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 1 → ((1 + 1) + 𝑟) = ((1 + 1) + 1))
55	53, 54	eqtr4id 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 1 → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑟 = 1) → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
57	38, 56	rspcedeq2vd 3585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
58	38, 49, 57	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
59	38, 44, 58	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
60	30, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {3} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61		3p1e4 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 + 1) = 4
62		df-5 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = (4 + 1)
63	61, 62	oveq12i 7361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 + 1)..^5) = (4..^(4 + 1))
64		4z 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
65		fzval3 13637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ → (4...4) = (4..^(4 + 1)))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4...4) = (4..^(4 + 1))
67	63, 66	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 1)..^5) = (4...4)
68	67	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ (4...4))
69		fzsn 13469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℤ → (4...4) = {4})
70	64, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4...4) = {4}
71	70	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (4...4) ↔ 𝑛 ∈ {4})
72	68, 71	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ {4})
73		elsni 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ {4} → 𝑛 = 4)
74		2prm 16603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℙ
75	74	olci 866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ)
76		elun 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ))
77	75, 76	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ({1} ∪ ℙ)
78	77, 36	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ 𝑃
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 4 → 2 ∈ 𝑃)
80		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
81	80	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
82	81	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
83	82	2rexbidv 3194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 2 → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
85	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 4 → 1 ∈ 𝑃)
86		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 1 → (2 + 𝑞) = (2 + 1))
87	86	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 1 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 1) + 𝑟))
88	87	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
89	88	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
91		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 4)
92		df-4 12193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 = (3 + 1)
93	50	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 + 1) = ((2 + 1) + 1)
94	92, 93	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 = ((2 + 1) + 1)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 1))
96		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 𝑟) = ((2 + 1) + 1))
97	96	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
99	95, 98	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 𝑟))
100	91, 99	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
101	85, 100	rspcedeq2vd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
102	85, 90, 101	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
103	79, 84, 102	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
104	73, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {4} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
105	72, 104	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
106	60, 105	jaoi 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
107	29, 106	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
108		elsni 4594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ {5} → 𝑛 = 5)
109		3prm 16605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℙ
110	109	olci 866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ)
111		elun 4104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ))
112	110, 111	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ({1} ∪ ℙ)
113	112, 36	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ 𝑃
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 5 → 3 ∈ 𝑃)
115		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
116	115	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
117	116	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
118	117	2rexbidv 3194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
119	118	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑝 = 3) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
120	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 5 → 1 ∈ 𝑃)
121		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (3 + 𝑞) = (3 + 1))
122	121	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 1 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 1) + 𝑟))
123	122	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
124	123	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
125	124	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
126		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 5)
127	92	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = ((3 + 1) + 1)
128	62, 127	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = ((3 + 1) + 1)
129		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 1 → ((3 + 1) + 𝑟) = ((3 + 1) + 1))
130	128, 129	eqtr4id 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 1 → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
131	130	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
132	126, 131	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
133	120, 132	rspcedeq2vd 3585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
134	120, 125, 133	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
135	114, 119, 134	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
136	108, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ {5} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
137	107, 136	jaoi 857	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
138	28, 137	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
139	138	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
140	27, 139	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
141		sbgoldbm 47788	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
142		rspa 3218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
143		ssun2 4130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ⊆ ({1} ∪ ℙ)
144	143, 36	sseqtrri 3985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℙ ⊆ 𝑃
145		rexss 4011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
147		rexss 4011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
148	144, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
149		rexss 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
150	144, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
151		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
152	151	reximi 3067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
153	150, 152	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
154	153	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
155	154	reximi 3067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
156	148, 155	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
157	156	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
158	157	reximi 3067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
159	146, 158	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
160	142, 159	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
161	160	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
162	141, 161	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
163	162	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
164	140, 163	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
165	14, 164	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
166	165	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
167	13, 166	biimtrid 242	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
168	1, 167	ralrimi 3227	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  5c5 12186  6c6 12187  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ℙcprime 16582   Even ceven 47628   GoldbachEven cgbe 47749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-even 47630  df-odd 47631  df-gbe 47752  df-gbow 47753

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