Theorem sbgoldbo 45969

Description: If the strong binary Goldbach conjecture is valid, the original formulation of the Goldbach conjecture also holds: Every integer greater than 2 can be expressed as the sum of three "primes" with regarding 1 to be a prime (as Goldbach did). Original text: "Es scheint wenigstens, dass eine jede Zahl, die groesser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey." (Goldbach, 1742). (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
sbgoldbo.p	⊢ 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
sbgoldbo	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑝,𝑞,𝑟   𝑛,𝑝,𝑞,𝑟

Allowed substitution hint:   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem sbgoldbo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 3267	. 2 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
2		3z 12536	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		6nn 12242	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ
4	3	nnzi 12527	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℤ
5		3re 12233	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		6re 12243	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
7		3lt6 12336	. . . . . 6 ⊢ 3 < 6
8	5, 6, 7	ltleii 11278	. . . . 5 ⊢ 3 ≤ 6
9		eluz2 12769	. . . . 5 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 6))
10	2, 4, 8, 9	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 6 ∈ (ℤ≥‘3)
11		uzsplit 13513	. . . . 5 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) → (ℤ≥‘3) = ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)))
12	11	eleq2d 2823	. . . 4 ⊢ (6 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6))))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)))
14		elun 4108	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) ↔ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)))
15		6m1e5 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 − 1) = 5
16	15	oveq2i 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (3...(6 − 1)) = (3...5)
17		5nn 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
18	17	nnzi 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 ∈ ℤ
19		5re 12240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℝ
20		3lt5 12331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 < 5
21	5, 19, 20	ltleii 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≤ 5
22		eluz2 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
23	2, 18, 21, 22	mpbir3an 1341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)
24		fzopredsuc 45545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) → (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (3...5) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
26	16, 25	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (3...(6 − 1)) = (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5})
27	26	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ↔ 𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}))
28		elun 4108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) ↔ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}))
29		elun 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ↔ (𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)))
30		elsni 4603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {3} → 𝑛 = 3)
31		1ex 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
32	31	snid 4622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ {1}
33	32	orci 863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ)
34		elun 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (1 ∈ {1} ∨ 1 ∈ ℙ))
35	33, 34	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ({1} ∪ ℙ)
36		sbgoldbo.p	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑃 = ({1} ∪ ℙ)
37	35, 36	eleqtrri 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ 𝑃
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 3 → 1 ∈ 𝑃)
39		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → 𝑛 = 3)
40		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 1 → (𝑝 + 𝑞) = (1 + 𝑞))
41	40	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 1 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
43	39, 42	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	2rexbidv 3213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑝 = 1) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟)))
45		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 1 → (1 + 𝑞) = (1 + 1))
46	45	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 1 → ((1 + 𝑞) + 𝑟) = ((1 + 1) + 𝑟))
47	46	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
48	47	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟)))
50		df-3 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
51		df-2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
52	51	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = ((1 + 1) + 1)
53	50, 52	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 = ((1 + 1) + 1)
54		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 = 1 → ((1 + 1) + 𝑟) = ((1 + 1) + 1))
55	53, 54	eqtr4id 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 1 → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 3 ∧ 𝑟 = 1) → 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
57	38, 56	rspcedeq2vd 3587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 1) + 𝑟))
58	38, 49, 57	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 3 = ((1 + 𝑞) + 𝑟))
59	38, 44, 58	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 3 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
60	30, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ {3} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
61		3p1e4 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 + 1) = 4
62		df-5 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = (4 + 1)
63	61, 62	oveq12i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 + 1)..^5) = (4..^(4 + 1))
64		4z 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
65		fzval3 13641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (4 ∈ ℤ → (4...4) = (4..^(4 + 1)))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4...4) = (4..^(4 + 1))
67	63, 66	eqtr4i 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 1)..^5) = (4...4)
68	67	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ (4...4))
69		fzsn 13483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℤ → (4...4) = {4})
70	64, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4...4) = {4}
71	70	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (4...4) ↔ 𝑛 ∈ {4})
72	68, 71	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) ↔ 𝑛 ∈ {4})
73		elsni 4603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ {4} → 𝑛 = 4)
74		2prm 16568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℙ
75	74	olci 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ)
76		elun 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (2 ∈ {1} ∨ 2 ∈ ℙ))
77	75, 76	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ({1} ∪ ℙ)
78	77, 36	eleqtrri 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ 𝑃
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 4 → 2 ∈ 𝑃)
80		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑝 + 𝑞) = (2 + 𝑞))
81	80	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
82	81	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 2 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
83	82	2rexbidv 3213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 2 → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑝 = 2) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟)))
85	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 4 → 1 ∈ 𝑃)
86		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 1 → (2 + 𝑞) = (2 + 1))
87	86	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑞 = 1 → ((2 + 𝑞) + 𝑟) = ((2 + 1) + 𝑟))
88	87	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
89	88	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟)))
91		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 4)
92		df-4 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 = (3 + 1)
93	50	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (3 + 1) = ((2 + 1) + 1)
94	92, 93	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 4 = ((2 + 1) + 1)
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 1))
96		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 𝑟) = ((2 + 1) + 1))
97	96	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑟 = 1 → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → ((2 + 1) + 1) = ((2 + 1) + 𝑟))
99	95, 98	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 4 = ((2 + 1) + 𝑟))
100	91, 99	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 = 4 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
101	85, 100	rspcedeq2vd 3587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 1) + 𝑟))
102	85, 90, 101	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((2 + 𝑞) + 𝑟))
103	79, 84, 102	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 4 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
104	73, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ {4} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
105	72, 104	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
106	60, 105	jaoi 855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ {3} ∨ 𝑛 ∈ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
107	29, 106	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
108		elsni 4603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ {5} → 𝑛 = 5)
109		3prm 16570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℙ
110	109	olci 864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ)
111		elun 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ ({1} ∪ ℙ) ↔ (3 ∈ {1} ∨ 3 ∈ ℙ))
112	110, 111	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ({1} ∪ ℙ)
113	112, 36	eleqtrri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ 𝑃
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 5 → 3 ∈ 𝑃)
115		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑝 + 𝑞) = (3 + 𝑞))
116	115	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 3 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
117	116	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = 3 → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
118	117	2rexbidv 3213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 3 → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑝 = 3) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟)))
120	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 5 → 1 ∈ 𝑃)
121		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 1 → (3 + 𝑞) = (3 + 1))
122	121	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 1 → ((3 + 𝑞) + 𝑟) = ((3 + 1) + 𝑟))
123	122	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 = 1 → (𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
124	123	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 1 → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
125	124	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑞 = 1) → (∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟)))
126		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = 5)
127	92	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = ((3 + 1) + 1)
128	62, 127	eqtri 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = ((3 + 1) + 1)
129		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑟 = 1 → ((3 + 1) + 𝑟) = ((3 + 1) + 1))
130	128, 129	eqtr4id 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑟 = 1 → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
131	130	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 5 = ((3 + 1) + 𝑟))
132	126, 131	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 = 5 ∧ 𝑟 = 1) → 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
133	120, 132	rspcedeq2vd 3587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 1) + 𝑟))
134	120, 125, 133	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((3 + 𝑞) + 𝑟))
135	114, 119, 134	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 5 → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
136	108, 135	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ {5} → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
137	107, 136	jaoi 855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∨ 𝑛 ∈ {5}) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
138	28, 137	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
139	138	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (({3} ∪ ((3 + 1)..^5)) ∪ {5}) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
140	27, 139	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
141		sbgoldbm 45966	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
142		rspa 3231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
143		ssun2 4133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℙ ⊆ ({1} ∪ ℙ)
144	143, 36	sseqtrri 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℙ ⊆ 𝑃
145		rexss 4015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
146	144, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
147		rexss 4015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
148	144, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
149		rexss 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℙ ⊆ 𝑃 → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
150	144, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
151		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
152	151	reximi 3087	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑟 ∈ 𝑃 (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
153	150, 152	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
155	154	reximi 3087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝑞 ∈ ℙ ∧ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
156	148, 155	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
158	157	reximi 3087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 (𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
159	146, 158	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
160	142, 159	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
161	160	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
162	141, 161	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
163	162	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘6) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
164	140, 163	jaoi 855	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ (3...(6 − 1)) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
165	14, 164	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) → (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
166	165	com12 32	. . 3 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ ((3...(6 − 1)) ∪ (ℤ≥‘6)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
167	13, 166	biimtrid 241	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (𝑛 ∈ (ℤ≥‘3) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
168	1, 167	ralrimi 3240	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑞 ∈ 𝑃 ∃𝑟 ∈ 𝑃 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  ℙcprime 16547   Even ceven 45806   GoldbachEven cgbe 45927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-prm 16548  df-even 45808  df-odd 45809  df-gbe 45930  df-gbow 45931

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