MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzp12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzp12 12979
Description: Options for membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
elfzp12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))

Proof of Theorem elfzp12
StepHypRef Expression
1 elex 3517 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ V)
21anim2i 616 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ V))
3 elfvex 6699 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ V)
4 eleq1 2904 . . . . 5 (𝐾 = 𝑀 → (𝐾 ∈ V ↔ 𝑀 ∈ V))
53, 4syl5ibrcom 248 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ V))
65imdistani 569 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑀) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ V))
7 elex 3517 . . . 4 (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝐾 ∈ V)
87anim2i 616 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ V))
96, 8jaodan 953 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ V))
10 fzpred 12948 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
1110eleq2d 2902 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
12 elun 4128 . . . 4 (𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
1311, 12syl6bb 288 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
14 elsng 4577 . . . 4 (𝐾 ∈ V → (𝐾 ∈ {𝑀} ↔ 𝐾 = 𝑀))
1514orbi1d 912 . . 3 (𝐾 ∈ V → ((𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
1613, 15sylan9bb 510 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
172, 9, 16pm5.21nd 798 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  cun 3937  {csn 4563  cfv 6351  (class class class)co 7151  1c1 10530   + caddc 10532  cuz 12235  ...cfz 12885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886
This theorem is referenced by:  seqf1olem2  13403  bcpasc  13674  prmdiv  16114  vdwapun  16302  dvply1  24790  pserdvlem2  24933  ppiublem1  25694  lgseisenlem1  25867  lgsquadlem2  25873  pntpbnd1  26078  fzne1  30426  ballotlem2  31634  subfacp1lem6  32318  fwddifnp1  33512  fdc  34890  stoweidlem26  42179  stoweidlem34  42187
  Copyright terms: Public domain W3C validator