Theorem gpg3kgrtriexlem1 48207

Description: Lemma 1 for gpg3kgrtriex 48213. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem1	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12139	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		3re 12212	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
4	3, 1	remulcld 11149	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12375	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
6	5	ceilcld 13749	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
7	6	zred 12583	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
8		2re 12206	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		nnrp 12904	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ+)
11		2lt3 12299	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 2 < 3)
13	9, 3, 10, 12	ltmul1dd 12991	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (2 · 𝐾) < (3 · 𝐾))
14		2pos 12235	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 2)
16		ltmuldiv2 12003	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐾) < (3 · 𝐾) ↔ 𝐾 < ((3 · 𝐾) / 2)))
17	1, 4, 9, 15, 16	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((2 · 𝐾) < (3 · 𝐾) ↔ 𝐾 < ((3 · 𝐾) / 2)))
18	13, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < ((3 · 𝐾) / 2))
19	5	ceilged 13752	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
20	1, 5, 7, 18, 19	ltletrd 11280	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  0cc0 11013   · cmul 11018   < clt 11153   / cdiv 11781  ℕcn 12132  2c2 12187  3c3 12188  ⌈cceil 13697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-inf 9334  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fl 13698  df-ceil 13699

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriexlem4  48210  gpg3kgrtriexlem6  48212