Theorem gpg3kgrtriexlem6 49279

Description: Lemma 6 for gpg3kgrtriex 49280: 𝐸 is an edge in the generalized Petersen graph G(N,K) with 𝑁 = 3 · 𝐾. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
gpg3kgrtriex.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg3kgrtriex.e	⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, ( -𝐾 mod 𝑁)⟩}

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem6	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12717	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3nn 12425	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	4, 5	nnmulcld 12394	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 14037	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
10		opeq2 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
11		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 1) = ((𝐾 mod 𝑁) + 1))
12	11	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
13	12	opeq2d 4846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩)
14	10, 13	preq12d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩})
15	14	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩}))
16		opeq2 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
17	10, 16	preq12d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩})
18	17	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩}))
19		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 𝐾) = ((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾))
20	19	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
21	20	opeq2d 4846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
22	16, 21	preq12d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
23	22	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
24	15, 18, 23	3orbi123d 1463	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
25	24	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
26		gpg3kgrtriex.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, ( -𝐾 mod 𝑁)⟩}
27	2	gpg3kgrtriexlem2 49275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ( -𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
28	27	opeq2d 4846	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ⟨1, ( -𝐾 mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
29	28	preq2d 4697	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, ( -𝐾 mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
30	26, 29	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
31	30	3mix3d 1357	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
32	9, 25, 31	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
33		3z 12732	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
35	34, 1	zmulcld 12812	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
36		3t1e3 12510	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
37		nnge1 12369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
38		1red 11312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
39		nnre 12345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
40		3re 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
41		3pos 12454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
42	40, 41	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
44		lemul2 12173	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
45	38, 39, 43, 44	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
46	37, 45	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
47	36, 46	eqbrtrrid 5140	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
48		eluz2 12974	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
49	34, 35, 47, 48	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
50	2, 49	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
52	51, 39	remulcld 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
53	2, 52	eqeltrid 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	rehalfcld 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55	54	ceilcld 13986	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
56	55	zred 12806	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
57	52	rehalfcld 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
58	57	ceilcld 13986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
59	58	zred 12806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
60		gpg3kgrtriexlem1 49274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
61	39, 59, 60	ltled 11461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
62	2	oveq1i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
63	62	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
64	61, 63	breqtrrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
65	38, 39, 56, 37, 64	letrd 11470	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
66		elnnz1 12725	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
67	55, 65, 66	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
68	60, 63	breqtrrdi 5146	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
69		elfzo1 13850	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
70	5, 67, 68, 69	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
71		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
72		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
73		gpg3kgrtriex.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
74		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	71, 72, 73, 74	gpgedgel 49241	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
76	50, 70, 75	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
77	32, 76	mpbird 260	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  3c3 12401  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ..^cfzo 13791  ⌈cceil 13934   mod cmo 14012  Edgcedg 29630   gPetersenGr cgpg 49231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-ceil 13936  df-mod 14013  df-hash 14478  df-dvds 16428  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-edgf 29572  df-iedg 29582  df-edg 29631  df-gpg 49232

This theorem is used by:  gpg3kgrtriex  49280