Theorem gpg3kgrtriexlem6 48442

Description: Lemma 6 for gpg3kgrtriex 48443: 𝐸 is an edge in the generalized Petersen graph G(N,K) with 𝑁 = 3 · 𝐾. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
gpg3kgrtriex.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg3kgrtriex.e	⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem6	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12521	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3nn 12236	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	4, 5	nnmulcld 12210	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 13826	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
10		opeq2 4832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
11		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 1) = ((𝐾 mod 𝑁) + 1))
12	11	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
13	12	opeq2d 4838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩)
14	10, 13	preq12d 4700	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩})
15	14	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩}))
16		opeq2 4832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
17	10, 16	preq12d 4700	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩})
18	17	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩}))
19		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 𝐾) = ((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾))
20	19	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
21	20	opeq2d 4838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
22	16, 21	preq12d 4700	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
23	22	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
24	15, 18, 23	3orbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
26		gpg3kgrtriex.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}
27	2	gpg3kgrtriexlem2 48438	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
28	27	opeq2d 4838	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
29	28	preq2d 4699	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
30	26, 29	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
31	30	3mix3d 1340	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
32	9, 25, 31	rspcedvd 3580	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
33		3z 12536	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
35	34, 1	zmulcld 12614	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
36		3t1e3 12317	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
37		nnge1 12185	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
38		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
39		nnre 12164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
40		3re 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
41		3pos 12262	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
42	40, 41	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
44		lemul2 12006	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
45	38, 39, 43, 44	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
46	37, 45	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
47	36, 46	eqbrtrrid 5136	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
48		eluz2 12769	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
49	34, 35, 47, 48	syl3anbrc 1345	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
50	2, 49	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
52	51, 39	remulcld 11174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
53	2, 52	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	rehalfcld 12400	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55	54	ceilcld 13775	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
56	55	zred 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
57	52	rehalfcld 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
58	57	ceilcld 13775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
59	58	zred 12608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
60		gpg3kgrtriexlem1 48437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
61	39, 59, 60	ltled 11293	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
62	2	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
63	62	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
64	61, 63	breqtrrdi 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
65	38, 39, 56, 37, 64	letrd 11302	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
66		elnnz1 12529	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
67	55, 65, 66	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
68	60, 63	breqtrrdi 5142	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
69		elfzo1 13640	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
70	5, 67, 68, 69	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
71		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
72		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
73		gpg3kgrtriex.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
74		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	71, 72, 73, 74	gpgedgel 48404	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
76	50, 70, 75	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
77	32, 76	mpbird 257	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  -cneg 11377   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13582  ⌈cceil 13723   mod cmo 13801  Edgcedg 29132   gPetersenGr cgpg 48394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-ceil 13725  df-mod 13802  df-hash 14266  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-edgf 29074  df-iedg 29084  df-edg 29133  df-gpg 48395

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48443