Theorem gpg3kgrtriexlem6 48330

Description: Lemma 6 for gpg3kgrtriex 48331: 𝐸 is an edge in the generalized Petersen graph G(N,K) with 𝑁 = 3 · 𝐾. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
gpg3kgrtriex.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg3kgrtriex.e	⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem6	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12509	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3nn 12224	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	4, 5	nnmulcld 12198	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	eqeltrid 2840	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 13814	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
10		opeq2 4830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
11		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 1) = ((𝐾 mod 𝑁) + 1))
12	11	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
13	12	opeq2d 4836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩)
14	10, 13	preq12d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩})
15	14	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩}))
16		opeq2 4830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
17	10, 16	preq12d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩})
18	17	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩}))
19		oveq1 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 𝐾) = ((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾))
20	19	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
21	20	opeq2d 4836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
22	16, 21	preq12d 4698	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
23	22	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
24	15, 18, 23	3orbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
26		gpg3kgrtriex.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}
27	2	gpg3kgrtriexlem2 48326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
28	27	opeq2d 4836	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
29	28	preq2d 4697	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
30	26, 29	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
31	30	3mix3d 1339	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
32	9, 25, 31	rspcedvd 3578	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
33		3z 12524	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
35	34, 1	zmulcld 12602	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
36		3t1e3 12305	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
37		nnge1 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
38		1red 11133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
39		nnre 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
40		3re 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
41		3pos 12250	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
42	40, 41	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
44		lemul2 11994	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
45	38, 39, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
46	37, 45	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
47	36, 46	eqbrtrrid 5134	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
48		eluz2 12757	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
49	34, 35, 47, 48	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
50	2, 49	eqeltrid 2840	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
52	51, 39	remulcld 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
53	2, 52	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	rehalfcld 12388	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55	54	ceilcld 13763	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
56	55	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
57	52	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
58	57	ceilcld 13763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
59	58	zred 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
60		gpg3kgrtriexlem1 48325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
61	39, 59, 60	ltled 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
62	2	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
63	62	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
64	61, 63	breqtrrdi 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
65	38, 39, 56, 37, 64	letrd 11290	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
66		elnnz1 12517	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
67	55, 65, 66	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
68	60, 63	breqtrrdi 5140	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
69		elfzo1 13628	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
70	5, 67, 68, 69	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
71		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
72		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
73		gpg3kgrtriex.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
74		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	71, 72, 73, 74	gpgedgel 48292	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
76	50, 70, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
77	32, 76	mpbird 257	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {cpr 4582  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  -cneg 11365   / cdiv 11794  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ..^cfzo 13570  ⌈cceil 13711   mod cmo 13789  Edgcedg 29120   gPetersenGr cgpg 48282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-ceil 13713  df-mod 13790  df-hash 14254  df-dvds 16180  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-edgf 29062  df-iedg 29072  df-edg 29121  df-gpg 48283

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48331