Theorem gpg3kgrtriexlem6 48073

Description: Lemma 6 for gpg3kgrtriex 48074: 𝐸 is an edge in the generalized Petersen graph G(N,K) with 𝑁 = 3 · 𝐾. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
gpg3kgrtriex.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg3kgrtriex.e	⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem6	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12510	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3nn 12225	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	4, 5	nnmulcld 12199	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 13816	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
10		opeq2 4828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
11		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 1) = ((𝐾 mod 𝑁) + 1))
12	11	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
13	12	opeq2d 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩)
14	10, 13	preq12d 4695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩})
15	14	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩}))
16		opeq2 4828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
17	10, 16	preq12d 4695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩})
18	17	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩}))
19		oveq1 7360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 𝐾) = ((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾))
20	19	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
21	20	opeq2d 4834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
22	16, 21	preq12d 4695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
23	22	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
24	15, 18, 23	3orbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
26		gpg3kgrtriex.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}
27	2	gpg3kgrtriexlem2 48069	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
28	27	opeq2d 4834	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
29	28	preq2d 4694	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
30	26, 29	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
31	30	3mix3d 1339	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
32	9, 25, 31	rspcedvd 3581	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
33		3z 12526	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
35	34, 1	zmulcld 12604	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
36		3t1e3 12306	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
37		nnge1 12174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
38		1red 11135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
39		nnre 12153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
40		3re 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
41		3pos 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
42	40, 41	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
44		lemul2 11995	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
45	38, 39, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
46	37, 45	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
47	36, 46	eqbrtrrid 5131	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
48		eluz2 12759	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
49	34, 35, 47, 48	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
50	2, 49	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
52	51, 39	remulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
53	2, 52	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	rehalfcld 12389	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55	54	ceilcld 13765	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
56	55	zred 12598	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
57	52	rehalfcld 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
58	57	ceilcld 13765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
59	58	zred 12598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
60		gpg3kgrtriexlem1 48068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
61	39, 59, 60	ltled 11282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
62	2	oveq1i 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
63	62	fveq2i 6829	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
64	61, 63	breqtrrdi 5137	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
65	38, 39, 56, 37, 64	letrd 11291	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
66		elnnz1 12519	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
67	55, 65, 66	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
68	60, 63	breqtrrdi 5137	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
69		elfzo1 13633	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
70	5, 67, 68, 69	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
71		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
72		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
73		gpg3kgrtriex.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
74		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	71, 72, 73, 74	gpgedgel 48035	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
76	50, 70, 75	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
77	32, 76	mpbird 257	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4581  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  -cneg 11366   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ..^cfzo 13575  ⌈cceil 13713   mod cmo 13791  Edgcedg 29010   gPetersenGr cgpg 48025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-ceil 13715  df-mod 13792  df-hash 14256  df-dvds 16182  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-edgf 28952  df-iedg 28962  df-edg 29011  df-gpg 48026

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48074