Theorem gpg3kgrtriexlem6 48576

Description: Lemma 6 for gpg3kgrtriex 48577: 𝐸 is an edge in the generalized Petersen graph G(N,K) with 𝑁 = 3 · 𝐾. (Contributed by AV, 1-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpg3kgrtriex.n	⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
gpg3kgrtriex.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpg3kgrtriex.e	⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}

Assertion

Ref	Expression
gpg3kgrtriexlem6	⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Proof of Theorem gpg3kgrtriexlem6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12536	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
2		gpg3kgrtriex.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (3 · 𝐾)
3		3nn 12251	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	4, 5	nnmulcld 12221	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	eqeltrid 2841	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
8		zmodfzo 13844	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9	1, 7, 8	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
10		opeq2 4818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
11		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 1) = ((𝐾 mod 𝑁) + 1))
12	11	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁))
13	12	opeq2d 4824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩)
14	10, 13	preq12d 4686	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩})
15	14	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩}))
16		opeq2 4818	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, 𝑥⟩ = ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩)
17	10, 16	preq12d 4686	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩})
18	17	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ↔ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩}))
19		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝑥 + 𝐾) = ((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾))
20	19	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
21	20	opeq2d 4824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
22	16, 21	preq12d 4686	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
23	22	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → (𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
24	15, 18, 23	3orbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 mod 𝑁) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑥 = (𝐾 mod 𝑁)) → ((𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
26		gpg3kgrtriex.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩}
27	2	gpg3kgrtriexlem2 48572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (-𝐾 mod 𝑁) = (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁))
28	27	opeq2d 4824	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
29	28	preq2d 4685	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (-𝐾 mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
30	26, 29	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
31	30	3mix3d 1340	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨0, (((𝐾 mod 𝑁) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, (𝐾 mod 𝑁)⟩, ⟨1, (((𝐾 mod 𝑁) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
32	9, 25, 31	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
33		3z 12551	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℤ)
35	34, 1	zmulcld 12630	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℤ)
36		3t1e3 12332	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
37		nnge1 12196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐾)
38		1red 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
39		nnre 12172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
40		3re 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
41		3pos 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 3
42	40, 41	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3))
44		lemul2 11999	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
45	38, 39, 43, 44	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐾 ↔ (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾)))
46	37, 45	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 1) ≤ (3 · 𝐾))
47	36, 46	eqbrtrrid 5122	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ≤ (3 · 𝐾))
48		eluz2 12785	. . . . 5 ⊢ ((3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐾) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (3 · 𝐾)))
49	34, 35, 47, 48	syl3anbrc 1345	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ (ℤ≥‘3))
50	2, 49	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
51	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ)
52	51, 39	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (3 · 𝐾) ∈ ℝ)
53	2, 52	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	rehalfcld 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55	54	ceilcld 13793	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
56	55	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
57	52	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((3 · 𝐾) / 2) ∈ ℝ)
58	57	ceilcld 13793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℤ)
59	58	zred 12624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)) ∈ ℝ)
60		gpg3kgrtriexlem1 48571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
61	39, 59, 60	ltled 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘((3 · 𝐾) / 2)))
62	2	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 / 2) = ((3 · 𝐾) / 2)
63	62	fveq2i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (⌈‘(𝑁 / 2)) = (⌈‘((3 · 𝐾) / 2))
64	61, 63	breqtrrdi 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
65	38, 39, 56, 37, 64	letrd 11294	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2)))
66		elnnz1 12544	. . . . 5 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌈‘(𝑁 / 2))))
67	55, 65, 66	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ)
68	60, 63	breqtrrdi 5128	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)))
69		elfzo1 13658	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
70	5, 67, 68, 69	syl3anbrc 1345	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
71		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
72		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
73		gpg3kgrtriex.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
74		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
75	71, 72, 73, 74	gpgedgel 48538	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
76	50, 70, 75	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝐸 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝐸 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
77	32, 76	mpbird 257	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ..^cfzo 13599  ⌈cceil 13741   mod cmo 13819  Edgcedg 29130   gPetersenGr cgpg 48528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-ceil 13743  df-mod 13820  df-hash 14284  df-dvds 16213  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-edgf 29072  df-iedg 29082  df-edg 29131  df-gpg 48529

This theorem is referenced by:  gpg3kgrtriex  48577