Theorem gpgvtxdg3 48063

Description: Every vertex in a generalized Petersen graph has degree 3. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxdg3.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxdg3.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxdg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxdg3	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Proof of Theorem gpgvtxdg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxdg3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
2		gpgvtxdg3.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3	2	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
4	3	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
5	4	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
6	5	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
7		gpgusgra 48038	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
9	1, 8	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
10		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		gpgvtxdg3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	hashnbusgrvd 29462	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋))
13	12	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
14	9, 10, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
15		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
16	2, 1, 11, 15	gpgcubic 48060	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = 3)
17	14, 16	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  1c1 11075   / cdiv 11841  2c2 12242  3c3 12243  ℤ_≥cuz 12799  ..^cfzo 13621  ⌈cceil 13759  ♯chash 14301  Vtxcvtx 28929  USGraphcusgr 29082   NeighbVtx cnbgr 29265  VtxDegcvtxdg 29399   gPetersenGr cgpg 48021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-oadd 8440  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-dju 9860  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-xnn0 12522  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-xadd 13079  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-ceil 13761  df-mod 13838  df-hash 14302  df-dvds 16229  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-edgf 28922  df-vtx 28931  df-iedg 28932  df-edg 28981  df-uhgr 28991  df-ushgr 28992  df-upgr 29015  df-umgr 29016  df-uspgr 29083  df-usgr 29084  df-nbgr 29266  df-vtxdg 29400  df-gpg 48022

This theorem is referenced by: (None)