Theorem gpgvtxdg3 48113

Description: Every vertex in a generalized Petersen graph has degree 3. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxdg3.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxdg3.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxdg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxdg3	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Proof of Theorem gpgvtxdg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxdg3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
2		gpgvtxdg3.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3	2	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
4	3	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
5	4	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
6	5	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
7		gpgusgra 48088	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
9	1, 8	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
10		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		gpgvtxdg3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	hashnbusgrvd 29502	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋))
13	12	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
14	9, 10, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
15		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
16	2, 1, 11, 15	gpgcubic 48110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = 3)
17	14, 16	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1c1 11002   / cdiv 11769  2c2 12175  3c3 12176  ℤ_≥cuz 12727  ..^cfzo 13549  ⌈cceil 13690  ♯chash 14232  Vtxcvtx 28969  USGraphcusgr 29122   NeighbVtx cnbgr 29305  VtxDegcvtxdg 29439   gPetersenGr cgpg 48071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-xadd 13007  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-ceil 13692  df-mod 13769  df-hash 14233  df-dvds 16159  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-edgf 28962  df-vtx 28971  df-iedg 28972  df-edg 29021  df-uhgr 29031  df-ushgr 29032  df-upgr 29055  df-umgr 29056  df-uspgr 29123  df-usgr 29124  df-nbgr 29306  df-vtxdg 29440  df-gpg 48072

This theorem is referenced by: (None)