Theorem gpgvtxdg3 48011

Description: Every vertex in a generalized Petersen graph has degree 3. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxdg3.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxdg3.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxdg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxdg3	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Proof of Theorem gpgvtxdg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxdg3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
2		gpgvtxdg3.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3	2	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
4	3	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
5	4	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
6	5	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
7		gpgusgra 47985	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
9	1, 8	eqeltrid 2837	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
10		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		gpgvtxdg3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	hashnbusgrvd 29475	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋))
13	12	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
14	9, 10, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
16	2, 1, 11, 15	gpgcubic 48008	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = 3)
17	14, 16	eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1c1 11138   / cdiv 11902  2c2 12303  3c3 12304  ℤ_≥cuz 12860  ..^cfzo 13676  ⌈cceil 13813  ♯chash 14352  Vtxcvtx 28942  USGraphcusgr 29095   NeighbVtx cnbgr 29278  VtxDegcvtxdg 29412   gPetersenGr cgpg 47972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-xadd 13137  df-ico 13375  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-ceil 13815  df-mod 13892  df-hash 14353  df-dvds 16274  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-edgf 28935  df-vtx 28944  df-iedg 28945  df-edg 28994  df-uhgr 29004  df-ushgr 29005  df-upgr 29028  df-umgr 29029  df-uspgr 29096  df-usgr 29097  df-nbgr 29279  df-vtxdg 29413  df-gpg 47973

This theorem is referenced by: (None)