Theorem gpgvtxdg3 48847

Description: Every vertex in a generalized Petersen graph has degree 3. (Contributed by AV, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgvtxdg3.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgvtxdg3.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgvtxdg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgvtxdg3	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Proof of Theorem gpgvtxdg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgvtxdg3.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
2		gpgvtxdg3.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3	2	eleq2i 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
4	3	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
5	4	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
6	5	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))))
7		gpgusgra 48822	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)
9	1, 8	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ USGraph)
10		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		gpgvtxdg3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	hashnbusgrvd 29878	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋))
13	12	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
14	9, 10, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
16	2, 1, 11, 15	gpgcubic 48844	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑋)) = 3)
17	14, 16	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑋) = 3)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096   / cdiv 11866  2c2 12290  3c3 12291  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13678  ⌈cceil 13820  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  USGraphcusgr 29499   NeighbVtx cnbgr 29682  VtxDegcvtxdg 29815   gPetersenGr cgpg 48805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-xadd 13133  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-ceil 13822  df-mod 13899  df-hash 14363  df-dvds 16306  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-edgf 29339  df-vtx 29348  df-iedg 29349  df-edg 29398  df-uhgr 29408  df-ushgr 29409  df-upgr 29432  df-umgr 29433  df-uspgr 29500  df-usgr 29501  df-nbgr 29683  df-vtxdg 29816  df-gpg 48806

This theorem is referenced by: (None)