Theorem grastruct 26809

Description: Any representation of a graph 𝐺 (especially as ordered pair 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩) is convertible in a representation of the graph as extensible structure. (Contributed by AV, 8-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
grastruct.h	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), (Vtx‘𝐺)⟩, ⟨(.ef‘ndx), (iEdg‘𝐺)⟩}

Assertion

Ref	Expression
grastruct	⊢ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))

Proof of Theorem grastruct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6678	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
2		fvex 6678	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
3		grastruct.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), (Vtx‘𝐺)⟩, ⟨(.ef‘ndx), (iEdg‘𝐺)⟩}
4	3	struct2grvtx 26806	. . . 4 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺) ∈ V) → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
5	1, 2, 4	mp2an 690	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺)
6	5	eqcomi 2830	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻)
7	3	struct2griedg 26807	. . . 4 ⊢ (((Vtx‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺) ∈ V) → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
8	1, 2, 7	mp2an 690	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺)
9	8	eqcomi 2830	. 2 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)
10	6, 9	pm3.2i 473	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495  {cpr 4563  ⟨cop 4567  ‘cfv 6350  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  .efcedgf 26768  Vtxcvtx 26775  iEdgciedg 26776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-edgf 26769  df-vtx 26777  df-iedg 26778

This theorem is referenced by: (None)