Theorem grtriproplem 48959

Description: Lemma for grtriprop 48961. (Contributed by AV, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtriproplem	⊢ ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grtriproplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of1 6811	. . 3 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → 𝑓:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧})
2		fvf1tp 13897	. . 3 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥))))
3		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘0) = 𝑥)
4		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘1) = 𝑦)
5	3, 4	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑥, 𝑦})
6	5	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
7		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘2) = 𝑧)
8	3, 7	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑧})
9	8	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
10	4, 7	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑧})
11	10	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
12	6, 9, 11	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
13	12	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
14		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘0) = 𝑥)
15		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘1) = 𝑧)
16	14, 15	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑥, 𝑧})
17	16	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
18		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘2) = 𝑦)
19	14, 18	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑦})
20	19	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
21	15, 18	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑦})
22	21	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
23	17, 20, 22	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)))
24		3ancoma 1115	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
25		prcom 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧, 𝑦} = {𝑦, 𝑧}
26	25	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
27	26	3anbi3i 1177	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
28	24, 27	sylbb 222	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
29	23, 28	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
30	13, 29	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
31		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘0) = 𝑦)
32		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘1) = 𝑥)
33	31, 32	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑦, 𝑥})
34	33	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
35		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘2) = 𝑧)
36	31, 35	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑧})
37	36	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
38	32, 35	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑧})
39	38	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
40	34, 37, 39	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
41		3ancomb 1116	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
42		prcom 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}
43	42	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
44	43	3anbi1i 1175	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
45	41, 44	sylbb 222	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
46	40, 45	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
47		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘0) = 𝑦)
48		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘1) = 𝑧)
49	47, 48	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑦, 𝑧})
50	49	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
51		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘2) = 𝑥)
52	47, 51	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑥})
53	52	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
54	48, 51	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑥})
55	54	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
56	50, 53, 55	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)))
57		3anrot 1117	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
58		prcom 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧, 𝑥} = {𝑥, 𝑧}
59	58	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)
60		biid 264	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
61	43, 59, 60	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
62	57, 61	sylbb 222	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
63	56, 62	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
64	46, 63	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
65		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘0) = 𝑧)
66		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘1) = 𝑥)
67	65, 66	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑧, 𝑥})
68	67	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
69		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘2) = 𝑦)
70	65, 69	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑦})
71	70	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
72	66, 69	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑦})
73	72	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
74	68, 71, 73	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
75		3anrot 1117	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
76		prcom 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑧} = {𝑧, 𝑥}
77	76	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)
78		prcom 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
79	78	eleq1i 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)
80		biid 264	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
81	77, 79, 80	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
82	75, 81	sylbbr 239	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
83	74, 82	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
84		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘0) = 𝑧)
85		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘1) = 𝑦)
86	84, 85	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑧, 𝑦})
87	86	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
88		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘2) = 𝑥)
89	84, 88	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑥})
90	89	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
91	85, 88	preq12d 4701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑥})
92	91	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
93	87, 90, 92	3anbi123d 1464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
94		3anrev 1118	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
95	43, 59, 26	3anbi123i 1173	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
96	94, 95	sylbb 222	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
97	93, 96	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
98	83, 97	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
99	30, 64, 98	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ (((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥))) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
100	1, 2, 99	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
101	100	imp 412	1 ⊢ ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cpr 4585  {ctp 4587  –1-1→wf1 6524  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172  2c2 12366  3c3 12367  ..^cfzo 13756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757

This theorem is used by:  grtriprop  48961