Theorem grtriproplem 47844

Description: Lemma for grtriprop 47846. (Contributed by AV, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
grtriproplem	⊢ ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grtriproplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of1 6848	. . 3 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → 𝑓:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧})
2		fvf1tp 13826	. . 3 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥))))
3		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘0) = 𝑥)
4		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘1) = 𝑦)
5	3, 4	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑥, 𝑦})
6	5	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
7		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘2) = 𝑧)
8	3, 7	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑧})
9	8	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
10	4, 7	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑧})
11	10	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
12	6, 9, 11	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
13	12	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
14		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘0) = 𝑥)
15		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘1) = 𝑧)
16	14, 15	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑥, 𝑧})
17	16	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
18		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘2) = 𝑦)
19	14, 18	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑦})
20	19	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
21	15, 18	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑦})
22	21	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
23	17, 20, 22	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)))
24		3ancoma 1097	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
25		prcom 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧, 𝑦} = {𝑦, 𝑧}
26	25	eleq1i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
27	26	3anbi3i 1158	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
28	24, 27	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
29	23, 28	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
30	13, 29	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
31		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘0) = 𝑦)
32		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘1) = 𝑥)
33	31, 32	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑦, 𝑥})
34	33	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
35		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘2) = 𝑧)
36	31, 35	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑧})
37	36	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
38	32, 35	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑧})
39	38	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
40	34, 37, 39	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
41		3ancomb 1098	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
42		prcom 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}
43	42	eleq1i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
44	43	3anbi1i 1156	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
45	41, 44	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
46	40, 45	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
47		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘0) = 𝑦)
48		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘1) = 𝑧)
49	47, 48	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑦, 𝑧})
50	49	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
51		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘2) = 𝑥)
52	47, 51	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑥})
53	52	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
54	48, 51	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑥})
55	54	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
56	50, 53, 55	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)))
57		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
58		prcom 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧, 𝑥} = {𝑥, 𝑧}
59	58	eleq1i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)
60		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
61	43, 59, 60	3anbi123i 1154	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
62	57, 61	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
63	56, 62	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
64	46, 63	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
65		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘0) = 𝑧)
66		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘1) = 𝑥)
67	65, 66	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑧, 𝑥})
68	67	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
69		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘2) = 𝑦)
70	65, 69	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑦})
71	70	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
72	66, 69	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑦})
73	72	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
74	68, 71, 73	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
75		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
76		prcom 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑥, 𝑧} = {𝑧, 𝑥}
77	76	eleq1i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)
78		prcom 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
79	78	eleq1i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)
80		biid 261	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
81	77, 79, 80	3anbi123i 1154	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
82	75, 81	sylbbr 236	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
83	74, 82	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
84		simp1 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘0) = 𝑧)
85		simp2 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘1) = 𝑦)
86	84, 85	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑧, 𝑦})
87	86	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
88		simp3 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘2) = 𝑥)
89	84, 88	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑥})
90	89	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
91	85, 88	preq12d 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑥})
92	91	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
93	87, 90, 92	3anbi123d 1435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
94		3anrev 1100	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
95	43, 59, 26	3anbi123i 1154	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
96	94, 95	sylbb 219	. . . . . 6 ⊢ (({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
97	93, 96	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
98	83, 97	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
99	30, 64, 98	3jaoi 1427	. . 3 ⊢ (((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥))) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
100	1, 2, 99	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
101	100	imp 406	1 ⊢ ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cpr 4633  {ctp 4635  –1-1→wf1 6560  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  2c2 12319  3c3 12320  ..^cfzo 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692

This theorem is referenced by:  grtriprop  47846