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Theorem grtriproplem 47906
Description: Lemma for grtriprop 47908. (Contributed by AV, 23-Jul-2025.)
Assertion
Ref Expression
grtriproplem ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem grtriproplem
StepHypRef Expression
1 f1of1 6847 . . 3 (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → 𝑓:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧})
2 fvf1tp 13829 . . 3 (𝑓:(0..^3)–1-1→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → ((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥))))
3 simp1 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘0) = 𝑥)
4 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘1) = 𝑦)
53, 4preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑥, 𝑦})
65eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
7 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘2) = 𝑧)
83, 7preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑧})
98eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
104, 7preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑧})
1110eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
126, 9, 113anbi123d 1438 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
1312biimpd 229 . . . . 5 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
14 simp1 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘0) = 𝑥)
15 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘1) = 𝑧)
1614, 15preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑥, 𝑧})
1716eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
18 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘2) = 𝑦)
1914, 18preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑦})
2019eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
2115, 18preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑦})
2221eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
2317, 20, 223anbi123d 1438 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)))
24 3ancoma 1098 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
25 prcom 4732 . . . . . . . . 9 {𝑧, 𝑦} = {𝑦, 𝑧}
2625eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
27263anbi3i 1160 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
2824, 27sylbb 219 . . . . . 6 (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
2923, 28biimtrdi 253 . . . . 5 (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
3013, 29jaoi 858 . . . 4 ((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
31 simp1 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘0) = 𝑦)
32 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘1) = 𝑥)
3331, 32preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑦, 𝑥})
3433eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
35 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (𝑓‘2) = 𝑧)
3631, 35preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑧})
3736eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
3832, 35preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑧})
3938eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸))
4034, 37, 393anbi123d 1438 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)))
41 3ancomb 1099 . . . . . . 7 (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
42 prcom 4732 . . . . . . . . 9 {𝑦, 𝑥} = {𝑥, 𝑦}
4342eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
44433anbi1i 1158 . . . . . . 7 (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
4541, 44sylbb 219 . . . . . 6 (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
4640, 45biimtrdi 253 . . . . 5 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
47 simp1 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘0) = 𝑦)
48 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘1) = 𝑧)
4947, 48preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑦, 𝑧})
5049eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
51 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘2) = 𝑥)
5247, 51preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑥})
5352eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
5448, 51preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑥})
5554eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
5650, 53, 553anbi123d 1438 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)))
57 3anrot 1100 . . . . . . 7 (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
58 prcom 4732 . . . . . . . . 9 {𝑧, 𝑥} = {𝑥, 𝑧}
5958eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸)
60 biid 261 . . . . . . . 8 ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)
6143, 59, 603anbi123i 1156 . . . . . . 7 (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
6257, 61sylbb 219 . . . . . 6 (({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
6356, 62biimtrdi 253 . . . . 5 (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
6446, 63jaoi 858 . . . 4 ((((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
65 simp1 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘0) = 𝑧)
66 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘1) = 𝑥)
6765, 66preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑧, 𝑥})
6867eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
69 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (𝑓‘2) = 𝑦)
7065, 69preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑦})
7170eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
7266, 69preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑥, 𝑦})
7372eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
7468, 71, 733anbi123d 1438 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)))
75 3anrot 1100 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
76 prcom 4732 . . . . . . . . 9 {𝑥, 𝑧} = {𝑧, 𝑥}
7776eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸)
78 prcom 4732 . . . . . . . . 9 {𝑦, 𝑧} = {𝑧, 𝑦}
7978eleq1i 2832 . . . . . . . 8 ({𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸)
80 biid 261 . . . . . . . 8 ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸)
8177, 79, 803anbi123i 1156 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
8275, 81sylbbr 236 . . . . . 6 (({𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
8374, 82biimtrdi 253 . . . . 5 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
84 simp1 1137 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘0) = 𝑧)
85 simp2 1138 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘1) = 𝑦)
8684, 85preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘1)} = {𝑧, 𝑦})
8786eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
88 simp3 1139 . . . . . . . . 9 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (𝑓‘2) = 𝑥)
8984, 88preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} = {𝑧, 𝑥})
9089eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸))
9185, 88preq12d 4741 . . . . . . . 8 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} = {𝑦, 𝑥})
9291eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → ({(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸))
9387, 90, 923anbi123d 1438 . . . . . 6 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸)))
94 3anrev 1101 . . . . . . 7 (({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸))
9543, 59, 263anbi123i 1156 . . . . . . 7 (({𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
9694, 95sylbb 219 . . . . . 6 (({𝑧, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑧, 𝑥} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑥} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
9793, 96biimtrdi 253 . . . . 5 (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
9883, 97jaoi 858 . . . 4 ((((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
9930, 64, 983jaoi 1430 . . 3 (((((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑧) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑦 ∧ (𝑓‘1) = 𝑧 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥)) ∨ (((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑥 ∧ (𝑓‘2) = 𝑦) ∨ ((𝑓‘0) = 𝑧 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦 ∧ (𝑓‘2) = 𝑥))) → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
1001, 2, 993syl 18 . 2 (𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} → (({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸)))
101100imp 406 1 ((𝑓:(0..^3)–1-1-onto→{𝑥, 𝑦, 𝑧} ∧ ({(𝑓‘0), (𝑓‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘0), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑓‘1), (𝑓‘2)} ∈ 𝐸)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸 ∧ {𝑥, 𝑧} ∈ 𝐸 ∧ {𝑦, 𝑧} ∈ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628  {ctp 4630  1-1wf1 6558  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  2c2 12321  3c3 12322  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  grtriprop  47908
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