Theorem gsumcom 19971

Description: Commute the arguments of a double sum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumcom.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumcom.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
gsumcom.n	⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumcom	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘, 0   𝑗,𝐺,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem gsumcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6	5	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑊)
7		gsumcom.f	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		gsumcom.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
9		gsumcom.n	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗𝑈𝑘)) → 𝑋 = 0 )
10		ancom 459	. . 3 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴))
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝑘 ∈ 𝐶 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
12	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 5, 11	gsumcom2 19969	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶, 𝑗 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  Fincfn 8966  Basecbs 17208  0_gc0g 17449   Σ_g cgsu 17450  CMndccmn 19774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-cntz 19307  df-cmn 19776

This theorem is referenced by:  gsumcom3  19972