Theorem gsumconstf 20028

Description: Sum of a constant series. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumconstf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝑋
gsumconstf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumconstf.m	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumconstf	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝐴) · 𝑋))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   · (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumconstf

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2927	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑙𝑋
2		gsumconstf.k	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
3		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → 𝑋 = 𝑋)
4	1, 2, 3	cbvmpt 5215	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) = (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)
5	4	oveq2i 7427	. 2 ⊢ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = (𝐺 Σg (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋))
6		gsumconstf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		gsumconstf.m	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	gsumconst 20027	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑙 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝐴) · 𝑋))
9	5, 8	eqtrid 2812	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((♯‘𝐴) · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  ♯chash 14379  Basecbs 17286   Σ_g cgsu 17510  Mndcmnd 18813  ._gcmg 19156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mulg 19157  df-cntz 19410

This theorem is used by:  gsumsnfd  20044  esumcst  34476