Theorem gsumsnfd 20025

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gsumsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 4606	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 5203	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		snfi 9036	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
10		gsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		gsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
12		gsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
14	11, 12, 13	gsumconstf 20009	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {𝑀} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶))
15	7, 9, 10, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶))
16	6, 15	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶))
17		gsumsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
18		hashsng 14410	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq1d 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
21	12, 13	mulg1 19151	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
22	10, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
23	16, 20, 22	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910  {csn 4589   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  1c1 11105  ♯chash 14371  Basecbs 17273   Σ_g cgsu 17497  Mndcmnd 18796  ._gcmg 19137

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-mulg 19138  df-cntz 19391

This theorem is used by:  gsumsnd  20026  gsumsnf  20027  gsumunsnfd  20031  esumsnf  34463  gsumdifsndf  48974