Theorem gsumsnfd 20192

Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsnd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumsnd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumsnd.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumsnfd.c	⊢ Ⅎ𝑘𝐶

Assertion

Ref	Expression
gsumsnfd	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

Distinct variable group:   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsnfd.p	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		elsni 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3		gsumsnd.s	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
4	2, 3	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
5	1, 4	mpteq2da 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
6	5	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7		gsumsnd.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
8		snfi 9096	. . . . 5 ⊢ {𝑀} ∈ Fin
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
10		gsumsnd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
11		gsumsnfd.c	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
12		gsumsnd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
14	11, 12, 13	gsumconstf 20176	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {𝑀} ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶))
15	7, 9, 10, 14	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶))
16	6, 15	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶))
17		gsumsnd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
18		hashsng 14537	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑀}) = 1)
20	19	oveq1d 7455	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑀})(.g‘𝐺)𝐶) = (1(.g‘𝐺)𝐶))
21	12, 13	mulg1 19317	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
22	10, 21	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘𝐺)𝐶) = 𝐶)
23	16, 20, 22	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  1c1 11225  ♯chash 14498  Basecbs 17413   Σ_g cgsu 17637  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mulg 19304  df-cntz 19558

This theorem is used by:  gsumsnd  20193  gsumsnf  20194  gsumunsnfd  20198  esumsnf  34763  gsumdifsndf  49481