Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsnfd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsnfd 18705
 Description: Group sum of a singleton, deduction form, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsnd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsnd.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumsnd.m (𝜑𝑀𝑉)
gsumsnd.c (𝜑𝐶𝐵)
gsumsnd.s ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
gsumsnfd.p 𝑘𝜑
gsumsnfd.c 𝑘𝐶
Assertion
Ref Expression
gsumsnfd (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem gsumsnfd
StepHypRef Expression
1 gsumsnfd.p . . . . 5 𝑘𝜑
2 elsni 4415 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
3 gsumsnd.s . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
42, 3sylan2 588 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐶)
51, 4mpteq2da 4967 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶))
65oveq2d 6922 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)))
7 gsumsnd.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
8 snfi 8308 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
10 gsumsnd.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐵)
11 gsumsnfd.c . . . . 5 𝑘𝐶
12 gsumsnd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 eqid 2826 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
1411, 12, 13gsumconstf 18689 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {𝑀} ∈ Fin ∧ 𝐶𝐵) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((♯‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
157, 9, 10, 14syl3anc 1496 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐶)) = ((♯‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
166, 15eqtrd 2862 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = ((♯‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶))
17 gsumsnd.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
18 hashsng 13450 . . . 4 (𝑀𝑉 → (♯‘{𝑀}) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘{𝑀}) = 1)
2019oveq1d 6921 . 2 (𝜑 → ((♯‘{𝑀})(.g𝐺)𝐶) = (1(.g𝐺)𝐶))
2112, 13mulg1 17903 . . 3 (𝐶𝐵 → (1(.g𝐺)𝐶) = 𝐶)
2210, 21syl 17 . 2 (𝜑 → (1(.g𝐺)𝐶) = 𝐶)
2316, 20, 223eqtrd 2866 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658  Ⅎwnf 1884   ∈ wcel 2166  Ⅎwnfc 2957  {csn 4398   ↦ cmpt 4953  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  1c1 10254  ♯chash 13411  Basecbs 16223   Σg cgsu 16455  Mndcmnd 17648  .gcmg 17895 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mulg 17896  df-cntz 18101 This theorem is referenced by:  gsumsnd  18706  gsumsnf  18707  gsumunsnfd  18710  esumsnf  30672  gsumdifsndf  42992
 Copyright terms: Public domain W3C validator