MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumreidx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumreidx 19015
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. Corresponds to the first equation in [Lang] p. 5 with 𝑀 = 1. (Contributed by AV, 26-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumreidx.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumreidx.z 0 = (0g𝐺)
gsumreidx.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumreidx.f (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
gsumreidx.h (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
gsumreidx (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem gsumreidx
StepHypRef Expression
1 gsumreidx.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumreidx.z . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumreidx.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 ovexd 7165 . 2 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ V)
5 gsumreidx.f . 2 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
6 fzfid 13324 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
72fvexi 6657 . . . 4 0 ∈ V
87a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
95, 6, 8fdmfifsupp 8819 . 2 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
10 gsumreidx.h . 2 (𝜑𝐻:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
111, 2, 3, 4, 5, 9, 10gsumf1o 19014 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  ccom 5532  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7130  ...cfz 12875  Basecbs 16461  0gc0g 16691   Σg cgsu 16692  CMndccmn 18884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-hash 13675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-cntz 18425  df-cmn 18886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator