MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzsubmcl 19936
Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzsubmcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzsubmcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumzsubmcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2737 . . 3 (0g‘(𝐺s 𝑆)) = (0g‘(𝐺s 𝑆))
3 eqid 2737 . . 3 (Cntz‘(𝐺s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺s 𝑆))
4 gsumzsubmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5 eqid 2737 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
65submmnd 18826 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
8 gsumzsubmcl.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumzsubmcl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
105submbas 18827 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
114, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1211feq3d 6723 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑆𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺s 𝑆))))
139, 12mpbid 232 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺s 𝑆)))
14 gsumzsubmcl.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
159frnd 6744 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
1614, 15ssind 4241 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17 gsumzsubmcl.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
185, 17, 3resscntz 19351 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹𝑆) → ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
194, 15, 18syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
2016, 19sseqtrrd 4021 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹))
21 gsumzsubmcl.w . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
22 gsumzsubmcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
235, 22subm0 18828 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
244, 23syl 17 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
2521, 24breqtrd 5169 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp (0g‘(𝐺s 𝑆)))
261, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25gsumzcl 19929 . 2 (𝜑 → ((𝐺s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
278, 4, 9, 5gsumsubm 18848 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺s 𝑆) Σg 𝐹))
2826, 27, 113eltr4d 2856 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Cntzccntz 19333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335
This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19937  gsumzadd  19940  dprdfadd  20040  dprdfeq0  20042  dprdlub  20046
  Copyright terms: Public domain W3C validator