Theorem gsumzsubmcl 20079

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzsubmcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzsubmcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzsubmcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		gsumzsubmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
6	5	submmnd 18956	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
8		gsumzsubmcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzsubmcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10	5	submbas 18957	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
11	4, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	11	feq3d 6683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	9, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		gsumzsubmcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
15	9	frnd 6707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
16	14, 15	ssind 4186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17		gsumzsubmcl.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
18	5, 17, 3	resscntz 19494	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
19	4, 15, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
20	16, 19	sseqtrrd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹))
21		gsumzsubmcl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
22		gsumzsubmcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	5, 22	subm0 18958	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	4, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	21, 24	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	1, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25	gsumzcl 20072	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	8, 4, 9, 5	gsumsubm 18978	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹))
28	26, 27, 11	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ran crn 5649  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17334   ↾_s cress 17355  0_gc0g 17557   Σ_g cgsu 17558  Mndcmnd 18870  SubMndcsubmnd 18924  Cntzccntz 19476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-cntz 19478

This theorem is used by:  gsumsubmcl  20080  gsumzadd  20083  dprdfadd  20183  dprdfeq0  20185  dprdlub  20189