MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzsubmcl 19703
Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzsubmcl.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzsubmcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumzsubmcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumzsubmcl.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))
2 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)) = (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))
3 eqid 2733 . . 3 (Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)) = (Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))
4 gsumzsubmcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5 eqid 2733 . . . . 5 (𝐺 β†Ύs 𝑆) = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
65submmnd 18632 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ Mnd)
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ Mnd)
8 gsumzsubmcl.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumzsubmcl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
105submbas 18633 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
114, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
1211feq3d 6659 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))))
139, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
14 gsumzsubmcl.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
159frnd 6680 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑆)
1614, 15ssind 4196 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((π‘β€˜ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17 gsumzsubmcl.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
185, 17, 3resscntz 19120 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ((Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))β€˜ran 𝐹) = ((π‘β€˜ran 𝐹) ∩ 𝑆))
194, 15, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))β€˜ran 𝐹) = ((π‘β€˜ran 𝐹) ∩ 𝑆))
2016, 19sseqtrrd 3989 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))β€˜ran 𝐹))
21 gsumzsubmcl.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
22 gsumzsubmcl.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
235, 22subm0 18634 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 0 = (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
244, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
2521, 24breqtrd 5135 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
261, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25gsumzcl 19696 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs 𝑆) Ξ£g 𝐹) ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
278, 4, 9, 5gsumsubm 18653 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 β†Ύs 𝑆) Ξ£g 𝐹))
2826, 27, 113eltr4d 2849 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  ran crn 5638  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  SubMndcsubmnd 18608  Cntzccntz 19103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-cntz 19105
This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19704  gsumzadd  19707  dprdfadd  19807  dprdfeq0  19809  dprdlub  19813
  Copyright terms: Public domain W3C validator