Theorem gsumzsubmcl 20159

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzsubmcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzsubmcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzsubmcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		gsumzsubmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
6	5	submmnd 19035	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
8		gsumzsubmcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzsubmcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10	5	submbas 19036	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
11	4, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	11	feq3d 6713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	9, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		gsumzsubmcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
15	9	frnd 6737	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
16	14, 15	ssind 4140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17		gsumzsubmcl.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
18	5, 17, 3	resscntz 19574	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
19	4, 15, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
20	16, 19	sseqtrrd 3950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹))
21		gsumzsubmcl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
22		gsumzsubmcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	5, 22	subm0 19037	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	4, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	21, 24	breqtrd 5134	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	1, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25	gsumzcl 20152	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	8, 4, 9, 5	gsumsubm 19057	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹))
28	26, 27, 11	3eltr4d 2879	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ran crn 5656  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  0_gc0g 17636   Σ_g cgsu 17637  Mndcmnd 18949  SubMndcsubmnd 19003  Cntzccntz 19556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-cntz 19558

This theorem is used by:  gsumsubmcl  20160  gsumzadd  20163  dprdfadd  20263  dprdfeq0  20265  dprdlub  20269