Theorem gsumzsubmcl 19987

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzsubmcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzsubmcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzsubmcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		gsumzsubmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
6	5	submmnd 18871	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
8		gsumzsubmcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzsubmcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10	5	submbas 18872	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
11	4, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	11	feq3d 6690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	9, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		gsumzsubmcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
15	9	frnd 6714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
16	14, 15	ssind 4192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17		gsumzsubmcl.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
18	5, 17, 3	resscntz 19402	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
19	4, 15, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
20	16, 19	sseqtrrd 3973	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹))
21		gsumzsubmcl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
22		gsumzsubmcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	5, 22	subm0 18873	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	4, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	21, 24	breqtrd 5136	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	1, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25	gsumzcl 19980	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	8, 4, 9, 5	gsumsubm 18893	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹))
28	26, 27, 11	3eltr4d 2876	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   finSupp cfsupp 9320  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  SubMndcsubmnd 18839  Cntzccntz 19384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-cntz 19386

This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19988  gsumzadd  19991  dprdfadd  20091  dprdfeq0  20093  dprdlub  20097