Theorem gsumzsubmcl 19849

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzsubmcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzsubmcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzsubmcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		gsumzsubmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
6	5	submmnd 18740	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
8		gsumzsubmcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzsubmcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10	5	submbas 18741	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
11	4, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	11	feq3d 6646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	9, 12	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		gsumzsubmcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
15	9	frnd 6669	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
16	14, 15	ssind 4192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17		gsumzsubmcl.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
18	5, 17, 3	resscntz 19264	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
19	4, 15, 18	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
20	16, 19	sseqtrrd 3970	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹))
21		gsumzsubmcl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
22		gsumzsubmcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	5, 22	subm0 18742	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	4, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	21, 24	breqtrd 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	1, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25	gsumzcl 19842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	8, 4, 9, 5	gsumsubm 18762	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹))
28	26, 27, 11	3eltr4d 2850	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5097  ran crn 5624  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   finSupp cfsupp 9266  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361   Σ_g cgsu 17362  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  Cntzccntz 19246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-cntz 19248

This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19850  gsumzadd  19853  dprdfadd  19953  dprdfeq0  19955  dprdlub  19959