MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzsubmcl 19912
Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzsubmcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzsubmcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumzsubmcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2726 . . 3 (0g‘(𝐺s 𝑆)) = (0g‘(𝐺s 𝑆))
3 eqid 2726 . . 3 (Cntz‘(𝐺s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺s 𝑆))
4 gsumzsubmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5 eqid 2726 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
65submmnd 18798 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
8 gsumzsubmcl.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumzsubmcl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
105submbas 18799 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
114, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1211feq3d 6707 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑆𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺s 𝑆))))
139, 12mpbid 231 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺s 𝑆)))
14 gsumzsubmcl.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
159frnd 6728 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
1614, 15ssind 4231 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17 gsumzsubmcl.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
185, 17, 3resscntz 19323 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹𝑆) → ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
194, 15, 18syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
2016, 19sseqtrrd 4020 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹))
21 gsumzsubmcl.w . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
22 gsumzsubmcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
235, 22subm0 18800 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
244, 23syl 17 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
2521, 24breqtrd 5171 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp (0g‘(𝐺s 𝑆)))
261, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25gsumzcl 19905 . 2 (𝜑 → ((𝐺s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
278, 4, 9, 5gsumsubm 18820 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺s 𝑆) Σg 𝐹))
2826, 27, 113eltr4d 2841 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3945  wss 3946   class class class wbr 5145  ran crn 5675  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17208  s cress 17237  0gc0g 17449   Σg cgsu 17450  Mndcmnd 18722  SubMndcsubmnd 18767  Cntzccntz 19305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-cntz 19307
This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19913  gsumzadd  19916  dprdfadd  20016  dprdfeq0  20018  dprdlub  20022
  Copyright terms: Public domain W3C validator