MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzsubmcl 19508
Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzsubmcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzsubmcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
gsumzsubmcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
2 eqid 2738 . . 3 (0g‘(𝐺s 𝑆)) = (0g‘(𝐺s 𝑆))
3 eqid 2738 . . 3 (Cntz‘(𝐺s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺s 𝑆))
4 gsumzsubmcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5 eqid 2738 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
65submmnd 18441 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺s 𝑆) ∈ Mnd)
8 gsumzsubmcl.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
9 gsumzsubmcl.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
105submbas 18442 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
114, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
1211feq3d 6581 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝑆𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺s 𝑆))))
139, 12mpbid 231 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺s 𝑆)))
14 gsumzsubmcl.c . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
159frnd 6602 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹𝑆)
1614, 15ssind 4168 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17 gsumzsubmcl.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
185, 17, 3resscntz 18927 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹𝑆) → ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
194, 15, 18syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
2016, 19sseqtrrd 3963 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺s 𝑆))‘ran 𝐹))
21 gsumzsubmcl.w . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
22 gsumzsubmcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
235, 22subm0 18443 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
244, 23syl 17 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘(𝐺s 𝑆)))
2521, 24breqtrd 5101 . . 3 (𝜑𝐹 finSupp (0g‘(𝐺s 𝑆)))
261, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25gsumzcl 19501 . 2 (𝜑 → ((𝐺s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
278, 4, 9, 5gsumsubm 18462 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺s 𝑆) Σg 𝐹))
2826, 27, 113eltr4d 2854 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  cin 3887  wss 3888   class class class wbr 5075  ran crn 5587  wf 6424  cfv 6428  (class class class)co 7269   finSupp cfsupp 9117  Basecbs 16901  s cress 16930  0gc0g 17139   Σg cgsu 17140  Mndcmnd 18374  SubMndcsubmnd 18418  Cntzccntz 18910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-se 5542  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-isom 6437  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-fsupp 9118  df-oi 9258  df-card 9686  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-nn 11963  df-2 12025  df-n0 12223  df-z 12309  df-uz 12572  df-fz 13229  df-fzo 13372  df-seq 13711  df-hash 14034  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-0g 17141  df-gsum 17142  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-cntz 18912
This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19509  gsumzadd  19512  dprdfadd  19612  dprdfeq0  19614  dprdlub  19618
  Copyright terms: Public domain W3C validator