MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzsubmcl 19875
Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzsubmcl.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzsubmcl.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzsubmcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
gsumzsubmcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
gsumzsubmcl.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzsubmcl (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)) = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))
2 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)) = (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))
3 eqid 2725 . . 3 (Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)) = (Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))
4 gsumzsubmcl.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
5 eqid 2725 . . . . 5 (𝐺 β†Ύs 𝑆) = (𝐺 β†Ύs 𝑆)
65submmnd 18767 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ Mnd)
74, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύs 𝑆) ∈ Mnd)
8 gsumzsubmcl.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
9 gsumzsubmcl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
105submbas 18768 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
114, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
1211feq3d 6703 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))))
139, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
14 gsumzsubmcl.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
159frnd 6724 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑆)
1614, 15ssind 4227 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((π‘β€˜ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17 gsumzsubmcl.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
185, 17, 3resscntz 19286 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ ((Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))β€˜ran 𝐹) = ((π‘β€˜ran 𝐹) ∩ 𝑆))
194, 15, 18syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))β€˜ran 𝐹) = ((π‘β€˜ran 𝐹) ∩ 𝑆))
2016, 19sseqtrrd 4014 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆))β€˜ran 𝐹))
21 gsumzsubmcl.w . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
22 gsumzsubmcl.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
235, 22subm0 18769 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 0 = (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
244, 23syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
2521, 24breqtrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
261, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25gsumzcl 19868 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 β†Ύs 𝑆) Ξ£g 𝐹) ∈ (Baseβ€˜(𝐺 β†Ύs 𝑆)))
278, 4, 9, 5gsumsubm 18789 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) = ((𝐺 β†Ύs 𝑆) Ξ£g 𝐹))
2826, 27, 113eltr4d 2840 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  ran crn 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691  SubMndcsubmnd 18736  Cntzccntz 19268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-cntz 19270
This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19876  gsumzadd  19879  dprdfadd  19979  dprdfeq0  19981  dprdlub  19985
  Copyright terms: Public domain W3C validator