Theorem gsumzsubmcl 19785

Description: Closure of a group sum in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzsubmcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzsubmcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzsubmcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzsubmcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzsubmcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
gsumzsubmcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
gsumzsubmcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzsubmcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzsubmcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem gsumzsubmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆))
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆)) = (Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))
4		gsumzsubmcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
5		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑆) = (𝐺 ↾s 𝑆)
6	5	submmnd 18693	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Mnd)
8		gsumzsubmcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		gsumzsubmcl.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
10	5	submbas 18694	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
11	4, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
12	11	feq3d 6704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝑆 ↔ 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆))))
13	9, 12	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶(Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
14		gsumzsubmcl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
15	9	frnd 6725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝑆)
16	14, 15	ssind 4232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
17		gsumzsubmcl.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
18	5, 17, 3	resscntz 19196	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
19	4, 15, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹) = ((𝑍‘ran 𝐹) ∩ 𝑆))
20	16, 19	sseqtrrd 4023	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘(𝐺 ↾s 𝑆))‘ran 𝐹))
21		gsumzsubmcl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
22		gsumzsubmcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
23	5, 22	subm0 18695	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
24	4, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
25	21, 24	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (0g‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
26	1, 2, 3, 7, 8, 13, 20, 25	gsumzcl 19778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹) ∈ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑆)))
27	8, 4, 9, 5	gsumsubm 18715	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ((𝐺 ↾s 𝑆) Σg 𝐹))
28	26, 27, 11	3eltr4d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  0_gc0g 17384   Σ_g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  Cntzccntz 19178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-cntz 19180

This theorem is referenced by:  gsumsubmcl  19786  gsumzadd  19789  dprdfadd  19889  dprdfeq0  19891  dprdlub  19895